《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

25.（本题6分）
如图，在□ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE。
（1）判断线段AB和线段DE的数量关系，并说明理由；
（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由。

答案： （1）AB=DE。因为∠CDE=∠DAE，∠DAE=∠DEB（同弧AD），所以∠CDE=∠DEB，DE=CE。四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD//BC，∠ADE=∠DEC。∠DAE=∠CDE，AD=AD，△ADE≌△DCE（AAS），AE=CD=AB，又AE=DE（等角对等边），所以AB=DE。
（2）相切。连接OD，∠ODA=∠OAD。∠CDE=∠DAE=∠ODA，OD//BC。ABCD是平行四边形，BC//AD，OD⊥CD（因为AD⊥CD，平行传递），所以DC是切线。

26.（本题8分）
如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(√2，0)，∠CAB=90°，顶点A在⊙O上运动。
（1）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当直线AB与⊙O相切时，求点A的坐标。

答案： （1）相切。A(-1，0)，AB=√[(√2 + 1)² + 0²]=√2 + 1，AC=AB=√2 + 1，C(-1，√2 + 1)。直线BC：过(√2，0)和(-1，√2 + 1)，斜率k=(√2 + 1 - 0)/(-1 - √2)= -1，方程y= - (x - √2)，即x + y - √2=0。O到BC距离d=|0 + 0 - √2|/√2=1=半径，相切。
（2）(0，1)或(0，-1)。设A(x，y)，OA=1，x² + y²=1。AB与⊙O相切，OA⊥AB，OA·OB=0，(x，y)·(√2 - x，-y)=0，x(√2 - x) - y²=0，√2x - (x² + y²)=0，√2x=1，x=1/√2=√2/2，代入x² + y²=1，y=±√(1 - 1/2)=±√2/2，坐标(√2/2，√2/2)或(√2/2，-√2/2)（原答案有误，修正后为准）