《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

22.（本题5分）求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m²总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：方程化为一般形式$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，判别式$\Delta = (-3)^2 - 4(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 1 + 4m^2$。因为$4m^2 \geq 0$，所以$\Delta = 1 + 4m^2 \geq 1 ＞ 0$，所以方程总有两个不相等的实数根。

23.（本题5分）已知M=5y²+3，N=4y+4y²，求M-N的最值。

答案： 最小值为2
解析：$M - N = (5y^2 + 3) - (4y + 4y^2) = y^2 - 4y + 3 = (y - 2)^2 - 1$。因为$(y - 2)^2 \geq 0$，所以$M - N \geq -1$，即最小值为-1。

24.（本题6分）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x² - x + m - 2 = 0的两个实数根。若m满足2x₁ + x₂ = m + 1，求m的值。

答案： m=2
解析：由韦达定理得$x_1 + x_2 = 1$，$x_1x_2 = m - 2$。因为$2x_1 + x_2 = m + 1$，且$x_2 = 1 - x_1$，所以$2x_1 + 1 - x_1 = m + 1$，即$x_1 = m$。代入方程得$m^2 - m + m - 2 = 0$，即$m^2 - 2 = 0$，解得$m = \pm \sqrt{2}$。又因为判别式$\Delta = 1 - 4(m - 2) \geq 0$，即$m \leq \frac{9}{4}$，所以$m = \sqrt{2}$或$m = -\sqrt{2}$。当$m = \sqrt{2}$时，$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$，满足条件；当$m = -\sqrt{2}$时，$x_1 = -\sqrt{2}$，$x_2 = 1 + \sqrt{2}$，满足条件。但原方程中$2x_1 + x_2 = m + 1$，代入$m = \sqrt{2}$得$2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1$，等式成立；代入$m = -\sqrt{2}$得$-2\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2}$，等式成立。但题目中未明确m的取值范围，根据判别式，$m = \sqrt{2}$和$m = -\sqrt{2}$均满足，可能题目存在疏漏，若按常规计算，$m = 2$是错误的，正确答案应为$m = \sqrt{2}$或$m = -\sqrt{2}$，但根据提供的答案，此处应为$m = 2$，可能原方程为$x^2 - x + m - 2 = 0$，当$m = 2$时，方程为$x^2 - x = 0$，根为0和1，$2x_1 + x_2 = 0 + 1 = 1$，$m + 1 = 3$，不成立，因此可能原答案有误，正确答案应为$m = \sqrt{2}$或$m = -\sqrt{2}$。