《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

23.（本题7分）
如图，在⊙O中，弦AD和BC的延长线交于点P，且DC=CP，C是弧BD的中点。
求证：AB是⊙O的直径。

答案： 证明：
∵C是弧BD的中点，
∴∠BAC=∠CAD，BC=CD。
∵DC=CP，
∴BC=CP，∠P=∠CBP。
∵∠ADC=∠P + ∠CBP=2∠P，∠ABC=∠ADC，
∠BAD=∠BAC + ∠CAD=2∠BAC，
∠ABC + ∠BAD=2∠P + 2∠BAC=2(∠P + ∠BAC)。
∵∠P + ∠BAC=∠ACB，∠ACB + ∠BCD=180°，∠BCD=∠P，
∴∠ACB=180° - ∠P，
∴∠ABC + ∠BAD=2(180° - ∠P)=360° - 2∠P。
又∠ABC + ∠BAD + ∠ADB=180°，∠ADB=∠ACB=180° - ∠P，
∴360° - 2∠P + 180° - ∠P=180°，解得∠P=120°，
∴∠ABC + ∠BAD=120°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=180° - 120°=60°，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的直径。

24.（本题9分）
如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽7.2m，拱顶高出水面2.4m。现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里。此货船能顺利通过这座拱桥吗？

答案： 解：建立坐标系，设圆心O(0，-r)，水面AB=7.2m，拱顶C(0，2.4)，
则A(-3.6，0)，B(3.6，0)，C在圆上，
∴(3.6)² + r²=(r + 2.4)²，
解得r=1.5m，圆方程x² + (y + 1.5)²=(3.9)²。
货船宽3m，当x=1.5时，y=$\sqrt{3.9² - 1.5²}$ - 1.5=3.6 - 1.5=2.1m＞2m，
∴货船能顺利通过。