《2025年学习与评价活页卷九年级数学上册苏科版》

14. 如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为 。

答案： $\frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$
解析：正五边形内角和为540°，每个内角108°，OA⊥AB，OC⊥CD，∠OAB=∠OCD=90°，所以∠AOC=540° - 2×90° - 2×108°=144°，劣弧AC长$l = \frac{144\pi × 1}{180} = \frac{2\pi}{5}$。

15. 如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，同时也是△DEF的外接圆。若AB = 1 cm，则DE = cm。

答案： $\frac{1}{3}$
解析：△ABC边长1，内切圆半径$r = \frac{\sqrt{3}}{6}$。△DEF外接圆半径为r，设边长为a，外接圆半径$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$，则$\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，解得$a = \frac{1}{2}$，修正：等边三角形外接圆半径$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$，$\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，$a = \frac{1}{2}$，答案应为$\frac{1}{2}$，原答案可能为$\frac{1}{3}$，此处按标准解法应为$\frac{1}{2}$。

16. 如图为一个半径为4 m的圆形广场，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 m。

答案： $\sqrt{15}$
解析：六个摊位对称分布，圆心到长方形长边距离为$x$，长方形长为$l$，宽1m。由几何关系得$(\frac{l}{2})^2 + (x + 1)^2 = 4^2$，且$6 × \frac{l}{2} = 2\pi × 4$（近似），实际利用正六边形性质，圆心到顶点距离4，摊位宽1，长$l = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。

17. （本题6分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB = 60°，对角线AC、BD相交于点O，边长AB = 16。以点O为圆心，半径为多少时作的圆才能与菱形的四条边都相切？

答案： 4$\sqrt{3}$
解析：菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=16，所以△ABD为等边三角形，BD=16，BO=8，AO=8$\sqrt{3}$。菱形面积$S = AC × BD / 2 = 16\sqrt{3} × 16 / 2 = 128\sqrt{3}$。内切圆半径$r = S / 周长 × 2 = 128\sqrt{3} / (4 × 16) × 2 = 4\sqrt{3}$。