《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

6. 如图,$AD是\angle BAC$的平分线,$\angle B = \angle EAC$,$ED\perp AD于点D$。求证：$ED平分\angle AEB$。

答案：
证明:如图,延长$AD$交$BC$于点$F$.

因为$AD$是$\angle BAC$的平分线,
所以$\angle BAD=\angle CAD$.
因为$\angle DFE=\angle B+\angle BAD$,$\angle DAE=\angle EAC+\angle CAD$,$\angle B=\angle EAC$,
所以$\angle DFE=\angle DAE$,
所以$AE=FE$.
因为$ED\perp AD$,所以$ED$平分$\angle AEB$.

7. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,点$E在AD$上,且$BE = AC$,求证：$\angle BED = \angle CAD$。

答案：
证明:如图,延长$AD$到点$F$,使$DF=AD$,连接$BF$.

因为$AD$是$\triangle ABC$的中线,
所以$BD=DC$.
在$\triangle ADC$和$\triangle FDB$中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=FD,\\ \angle ADC=\angle FDB,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle ADC\cong \triangle FDB(SAS)$,
所以$BF=AC$,$\angle CAD=\angle F$.
因为$BE=AC$,所以$BE=BF$,
所以$\angle F=\angle BED$,
所以$\angle BED=\angle CAD$.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$为中线,$E为AB$上一点,$AD$,$CE相交于点F$,且$AE = EF$。求证：$AB = CF$。

答案：
证明:如图,延长$FD$至点$H$,使$FD = DH$,连接$BH$.

因为$AD$是$\triangle ABC$的中线,
所以$BD=CD$.
在$\triangle BDH$和$\triangle CDF$中,
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ \angle BDH=\angle CDF,\\ DH=DF,\end{array}\right. $
所以$\triangle BDH\cong \triangle CDF(SAS)$,
所以$\angle H=\angle CFD$,$CF=BH$.
因为$AE=EF$,所以$\angle EAF=\angle AFE$.
因为$\angle AFE=\angle CFD$,所以$\angle EAF=\angle H$,所以$AB=BH$,所以$AB=CF$.

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$\angle B = 2\angle ADB$,$AB = 4$,$CD = 7$,则$AC$的长为(B)

A.$10$
B.$11$
C.$12$
D.$15$

答案： B

10. 如图,已知$E为\triangle ABC$内部一点,$AE的延长线交边BC于点D$,连接$BE$,$CE$,$\angle BED = \angle BAC = 2\angle DEC$。若$AC = AB$,求证：$BE = 2AE$。

答案：
证明:如图,在$EB$上截取$EF=AE$,连接$AF$,设$\angle BED=2\alpha $,

所以$\angle FAE=\angle AFE=\alpha $,$\angle DEC=\alpha $,所以$\angle AEC=\angle AFB$.
因为$\angle CAD+\angle BAD=\angle BAC=2\alpha $,$\angle ABE+\angle BAD=\angle BED=2\alpha $,
所以$\angle CAE=\angle ABE$.
在$\triangle CAE$和$\triangle ABF$中,
$\left\{\begin{array}{l} \angle AEC=\angle BFA,\\ \angle CAE=\angle ABF,\\ AC=BA,\end{array}\right. $
所以$\triangle CAE\cong \triangle ABF(AAS)$,
所以$BF=AE=EF$,所以$BE=2AE$.