《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

5. 分解因式：
(1) $x^2 + 5x + 4$；
(2) $x^2 - 6x - 7$；
(3) $x^2 - 6x + 8$；
(4) $2x^2 + x - 6$。

答案： 解:
(1)原式$=(x+1)(x+4).$
(2)原式$=(x+1)(x-7).$
(3)原式$=(x-2)(x-4).$
(4)原式$=(2x-3)(x+2).$

利用拼图探究恒等式
某班综合实践小组开展拼图实践活动。
【知识准备】
若 $x^2 + 6x + n$ 是完全平方式,则把 $x^2 + 6x + n$ 因式分解,其结果是(B)
A. $(x - 3)^2$
B. $(x + 3)^2$
C. $(x - 6)^2$
D. $(x + 6)^2$
【操作探究】
如图1,卡片①是边长为$a$的正方形,卡片②是边长为$b$的正方形,卡片③是长和宽分别为$a$,$b$的长方形。
(1) 若已经选取4张卡片①,4张卡片③,则至少应选取1张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形,这个新正方形的边长是____$2a+b$(用含$a$,$b$的式子表示)。

(2) 选取4张卡片③,在纸上按图2的方式进行拼图,可以得到中间阴影部分为正方形。若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示,则可验证等式：$(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}$。

【拓展探究】
(3) 如图3,该几何体由3个大小不同的长方体(如图4)组成,其中在长方体①中,$BC = a$,$AB = a - b$,$CF = b$。在长方体②中,$ML = DE = b$,$MD = a - b$。在长方体③中,$GH = HR = a$,$HN = a - b$。用不同的方法表示图3中几何体的体积,可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)为$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$。

答案： 【知识准备】 B 【操作探究】
(1)1 $2a+b$
(2)$(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}$ 【拓展探究】
(3)$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$