《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

学习任务一 单项式乘单项式
情境探究
已知单项式 $7a^{2}b$ 与单项式 $3ab^{2}$ 相乘,即 $7a^{2}b\cdot 3ab^{2}$,如何进行计算？
问题1：单项式 $7a^{2}b$ 可以化为三个单项式的积,即 $$7$\cdot$$a^{2}$$\cdot$b$$。
问题2：单项式 $3ab^{2}$ 可以化为三个单项式的积,即 $$3$\cdot$a$\cdot$$b^{2}$$$。
问题3：$7a^{2}b\cdot 3ab^{2}$ 可以化为单项式的积,即 $7\cdot a^{2}\cdot b\cdot 3\cdot a\cdot b^{2}$。
问题4：根据乘法交换律和结合律,把常数项和同底数幂分别结合,把问题3的结果化为 $(7×3)\cdot (a^{2}\cdot a)\cdot (b\cdot b^{2})$,结果可化为 $21a^{3}b^{3}$。
问题5：根据以上计算,你发现单项式乘单项式,它们的系数和指数有什么规律？
探究归纳
单项式与单项式相乘,把它们的 系数、同底数幂 分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的 指数 作为积的一个因式。

答案： 问题1:7$a^{2}$b
问题2:3 a$b^{2}$
问题3:$7\cdot a^{2}\cdot b\cdot 3\cdot a\cdot b^{2}$
问题4:$(7×3)\cdot (a^{2}\cdot a)\cdot (b\cdot b^{2})$
$21a^{3}b^{3}$
问题5:系数相乘,同底数幂相乘.
探究归纳
系数 同底数幂 指数

学习任务二 单项式乘多项式
情境探究
如图,一个长方形被分割成3个小长方形。

问题1：大长方形的长为 $a + b + c$,宽为 $p$,则这个大长方形的面积为 $p(a+b+c)$。
问题2：图中的三个小长方形的面积分别为 $pa,pb,pc$。
问题3：根据“大长方形的面积和小长方形的面积的数量关系”,可列等式为 $p(a+b+c)=pa+pb+pc$。
探究归纳
单项式与多项式相乘,就是用 单项式 去乘 多项式 的每一项,再把所得的积 相加。

答案： 问题1:$p(a+b+c)$
问题2:$pa,pb,pc$
问题3:$p(a+b+c)=pa+pb+pc$
探究归纳
单项式 多项式 相加

学习任务三 多项式乘多项式
情境探究
如图,长为 $a$ m、宽为 $m$ m 的长方形操场,对其进行扩建,扩建后的操场长增加了 $b$ m,宽增加了 $n$ m。

问题1：操场扩建后的长为 $(a+b)$ m,宽为 $(m+n)$ m,所以其面积为 $(a+b)(m+n)$ $m^{2}$。
问题2：用四个小长方形的面积之和表示总面积为 $am+an+bm+bn$。
问题3：根据问题1和问题2可以验证什么等式？
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
探究归纳
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项,再把所得的积 相加。

答案： 问题1:$(a+b)$ $(m+n)$ $(a+b)(m+n)$
问题2:$am+an+bm+bn$
问题3:$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$.
探究归纳
每一项 每一项 相加