《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

【例 2】如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,且 $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$. 试判断 $\triangle DEF$ 的形状,并简要说明理由.

解：

答案： △DEF是等边三角形.理由如下:因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.因为∠1=∠2=∠3，所以∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠BAC=60°.同理∠DEF=∠EDF=60°.所以△DEF是等边三角形.

(交换条件和结论)若结论“$\triangle DEF$ 是等边三角形”和条件“$\triangle ABC$ 是等边三角形”互换位置,如何证明？

答案： 证明:因为△DEF是等边三角形，所以∠DFE=60°.又因为∠DFE=∠3+∠FAC,∠1=∠3，所以∠BAC=∠1+∠FAC=∠3+∠FAC=60°.同理∠ABC=∠ACB=60°.所以△ABC是等边三角形.

1. 已知等腰三角形的一个外角是 $120^{\circ}$,则它是等边三角形.

答案： 等边

2. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AC = 10$,$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,则 $BD$ 的长为5.

答案： 5

【例 3】如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$M$ 是 $AB$ 上一点,$CM = \frac{1}{2}AB$,$D$ 是 $BM$ 的中点,求证：$CD \perp AB$.

思路分析
思考 1: 由 $\angle A = 30^{\circ}$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,得 $BC$ 与 $AB$ 有怎样的数量关系？
思考 2: 由已知 $CM = \frac{1}{2}AB$ 和思考 1 中的结论,得 $CM$ 与 $BC$ 有什么数量关系？
思考 3: 由 $D$ 是 $BM$ 的中点,结合思考 2 的结论,能得出 $CD \perp AB$ 吗？依据是什么？
证明：

答案： 思路分析 思考1:$BC=\frac{1}{2}AB$. 思考2:CM=BC. 思考3:能得出CD⊥AB.依据是等腰(边)三角形“三线合一”的性质. 证明:因为∠ACB=90°,∠A=30°,所以$BC=\frac{1}{2}AB$.因为$CM=\frac{1}{2}AB$,所以CM=BC，所以△CMB是等腰三角形.又因为D是BM的中点,所以CD⊥AB.