《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

学习任务 三角形全等的判定方法(HL)
情境探究
如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C' = ∠C = 90°，A'B' = AB，B'C' = BC。这两个三角形全等吗？

问题1：如图，由∠C' = ∠C = 90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线______重合，那么射线C'B'与射线CB重合。再由B'C' = BC，可知点B'与点B重合。

问题2：如图，设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM。过点M作垂线交AB于点M'，可知AB，BM'，BM的大小关系是______。设点N是线段CA的延长线上一点，连接BN，同理知BN______AB。因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有______个。再由点A'在射线CA上，A'B' = AB，知点A'与______重合。因而△A'B'C' ≌ △ABC。
问题1:CA
问题2:AB＞BM'＞BM　＞　一　点A

答案： 问题1:CA
问题2:AB＞BM'＞BM　＞　一　点A

______斜边和一______直角边分别相等的两个______直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

答案： 斜边　直角边　直角三角形

突破点一 用“HL”证明直角三角形全等
【例1】如图，在△ABC中，AB = CB，∠ABC = 90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE = CF。求证：BF = BE。

思路分析
思考1：观察图形，BE，BF分别在多个三角形中，其中可能全等的是哪组三角形？
思考2：上面的两个三角形是什么三角形？在已知条件中有哪些相等的元素？
思考3：根据哪个全等三角形的判定方法可证这两个三角形全等？
证明：

答案： 证明:因为∠ABC=90°,
所以∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
{AE=CF,
AB=CB,
所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
所以BF=BE.