《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

3. 已知$y = x^{2} + x - 6$,当$x = $5或-6时,$y$的值是24。

答案： 5或-6 点拨:此题把y的值代入得到关于x的一元二次方程,解之即可.如:根据题意,得x²+x-6=24,整理得x²+x-30=0,解得x₁=5,x₂=-6.

4. 若方程$(m - 2)x^{m^{2} - 3m + 4} + 2x - 1 = 0是关于x$的一元二次方程,则$m$的值为1。

答案： 1 点拨:m²-3m+4=2,则m²-3m+2=0,
∴m=1或m=2.又m-2≠0,
∴m=1.

5. 若$(2x + 3y)^{2} + 3(2x + 3y) - 4 = 0$,则$2x + 3y$的值为1或-4。

答案： 1或-4 点拨:(2x+3y)²+3(2x+3y)-4=0,(2x+3y-1)·(2x+3y+4)=0,2x+3y=1或2x+3y=-4.

6. 用因式分解法解下列方程：
(1)$3x(x - 1)+2x = 2$；
(2)$(2x - 1)^{2} = 6x^{2} - 3x$；
(3)$25(x - 7)^{2} = 16(x + 4)^{2}$；
(4)$5x^{2} = 4x$；
(5)$x - 2 = x(x - 2)$；
(6)$(x - 2)^{2} = 2x - 4$。

答案：
(1)原方程可变形为3x(x-1)+2x-2=0.分解因式,得(x-1)(3x+2)=0.所以x-1=0或3x+2=0,所以x₁=1,x₂=-$\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为(2x-1)²=3x(2x-1).移项,得(2x-1)²-3x(2x-1)=0.分解因式,得(2x-1)[(2x-1)-3x]=0,即(2x-1)(-x-1)=0,解得x₁=$\frac{1}{2}$,x₂=-1.
(3)移项,得25(x-7)²-16(x+4)²=0.分解因式,得[5(x-7)-4(x+4)][5(x-7)+4(x+4)]=0.即(x-51)(9x-19)=0.所以x-51=0或9x-19=0,所以x₁=51,x₂=$\frac{19}{9}$.
(4)原方程可变形为5x²-4x=0,x(5x-4)=0,x=0或5x-4=0,所以x₁=0,x₂=$\frac{4}{5}$.
(5)原方程可变形为x-2-x(x-2)=0,(x-2)(1-x)=0,x-2=0或1-x=0,所以x₁=2,x₂=1.
(6)移项,得(x-2)²-2x+4=0,即(x-2)²-2(x-2)=0.因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0.于是得x-2=0或x-4=0,所以x₁=2,x₂=4.

7. 已知$9a^{2} - 4b^{2} = 0$,求代数式$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^{2} + b^{2}}{ab}$的值。

答案： 解:原式=$\frac{a²-b²-a²-b²}{ab}$=$\frac{-2b}{a}$,
∵9a²-4b²=0,
∴(3a+2b)(3a-2b)=0.
∴a=-$\frac{2}{3}$b或a=$\frac{2}{3}$b.
当a=-$\frac{2}{3}$b时,原式=-$\frac{2b}{-\frac{2}{3}b}$=3.
当a=$\frac{2}{3}$b时,原式=-3.

8. 求证：如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和,那么此方程必有一根是$- 1$。

答案： 证明:设这个一元二次方程为ax²+(a+c)x+c=0(a≠0),则(ax+c)(x+1)=0,所以ax+c=0或x+1=0,所以x₁=-$\frac{c}{a}$,x₂=-1.
点拨:按所给出的条件设出一元二次方程,再利用因式分解法进行证明.

解方程$x^{4} - 6x^{2} + 5 = 0$,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法是：设$x^{2} = y$,那么$x^{4} = y^{2}$,于是原方程可变为$y^{2} - 6y + 5 = 0$①,解这个方程得$y_{1} = 1,y_{2} = 5$。当$y = 1$时,$x = \pm 1$；当$y = 5$时,$x = \pm \sqrt{5}$,所以原方程有四个根$x_{1} = 1,x_{2} = - 1,x_{3} = \sqrt{5},x_{4} = - \sqrt{5}$。
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想方法；
(2)解方程：$(x^{2} - x)^{2} - 4(x^{2} - x) - 12 = 0$。
令$x² - x = t$，则原方程转化为$t² - 4t - 12 = 0$，解这个方程得$t₁ = -2$，$t₂ = 6$。当$t = -2$时，$x² - x + 2 = 0$，此方程无实数根；当$t = 6$时，$x² - x - 6 = 0$，解得$x₁ = -2$，$x₂ = 3$，所以原方程有两个根为$x₁ = -2$，$x₂ = 3$。

答案：
(1)换元 转化
(2)令x²-x=t,则原方程转化为t²-4t-12=0,解这个方程得t₁=-2,t₂=6.当t=-2时,x²-x+2=0,此方程无实数根;当t=6时,x²-x-6=0,解得x₁=-2,x₂=3,所以原方程有两个根为x₁=-2,x₂=3.