《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

8. (武汉)抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a,b,c $ 是常数,$ c \lt 0) $ 经过 $ (1,1) $,$ (m,0) $,$ (n,0) $ 三点,且 $ n \geq 3 $。下列四个结论：
① $ b \lt 0 $；② $ 4ac - b^{2} \lt 4a $；③ 当 $ n = 3 $ 时,若点 $ (2,t) $ 在该抛物线上,则 $ t \gt 1 $；④ 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = x $ 有两个相等的实数根,则 $ 0 \lt m \leq \frac{1}{3} $。
其中正确的是 ②③④(填序号)。

答案： ②③④　点拨:抛物线经过(1,1)，c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，若抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在(1,0)的左侧.
∵n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定为(3,0)或在(3,0)的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，把(1,1)代入$y=ax^{2}+bx+c$得$a+b+c=1$，即$b=1−a−c$.
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，故①错误;
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴$\frac{c}{a}＞0$，
∴方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根的积大于0，即mn＞0.
∵n≥3，
∴m＞0，$\frac{m+n}{2}＞1.5$，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点(1,1)的右上方，
∴$\frac{4ac-b^{2}}{4a}＞1$.
∵4a＜0，
∴$4ac-b^{2}＜4a$，故②正确;由题易得0＜m＜1，
∴当n=3时，$1.5＜\frac{m+n}{2}＜2$，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧且在直线x=2的左侧，
∴(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离.
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线的对称轴越近对应的函数值越大，
∴t＞1，故③正确;方程$ax^{2}+bx+c=x$可变为$ax^{2}+(b-1)x+c=0$.
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(b-1)^{2}-4ac=0$.把(1,1)代入$y=ax^{2}+bx+c$得$a+b+c=1$，即$1−b=a+c$，
∴$(a+c)^{2}-4ac=0$，即$a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=0$，
∴$(a-c)^{2}=0$，
∴a−c=0，即a=c.
∵(m,0)，(n,0)在抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上，
∴m，n为方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根，
∴$mn=\frac{c}{a}=1$，
∴$n=\frac{1}{m}$.
∵n≥3，
∴$\frac{1}{m}\geq3$，
∴$0＜m\leq\frac{1}{3}$，故④正确.综上，正确的序号是②③④.

9. (北京)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知抛物线 $ y = ax^{2} - 2a^{2}x(a \neq 0) $。
(1)当 $ a = 1 $ 时,求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 $ M(x_{1},y_{1}) $ 和 $ N(x_{2},y_{2}) $ 是抛物线上的两点。若对于 $ x_{1} = 3a $,$ 3 \leq x_{2} \leq 4 $,都有 $ y_{1} \lt y_{2} $,求 $ a $ 的取值范围。

答案： 解:
(1)将a=1代入$y=ax^{2}-2a^{2}x$，得$y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$，
∴顶点坐标为(1，−1).
(2)由题意，得$y_{1}=a\cdot(3a)^{2}-2a^{2}\cdot3a=3a^{3}$，$y_{2}=ax_{2}^{2}-2a^{2}x_{2}$.
∵$y_{1}＜y_{2}$，
∴$y_{2}-y_{1}=a(x_{2}^{2}-2ax_{2}-3a^{2})=a(x_{2}-3a)(x_{2}+a)＞0$，
　①当a＞0时，$(x_{2}-3a)(x_{2}+a)＞0$，
　$\begin{cases} x_{2}-3a＞0 \\ x_{2}+a＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x_{2}-3a＜0 \\ x_{2}+a＜0 \end{cases}$，
　解得$x_{2}＞3a$或$x_{2}＜-a$.
∵$3\leq x_{2}\leq4$，
∴$3a＜3$或$-a＞4$，
∴$a＜1$或$a＜-4$.
∵$a＞0$，
∴$0＜a＜1$;
　②当a＜0时，$(x_{2}-3a)(x_{2}+a)＜0$，
∴$\begin{cases} x_{2}-3a＞0 \\ x_{2}+a＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} x_{2}-3a＜0 \\ x_{2}+a＞0 \end{cases}$，
　解得$3a＜x_{2}＜-a$.
∵$3\leq x_{2}\leq4$，
　$\begin{cases} 3a＜3 \\ -a＞4 \end{cases}$，解得$a＜-4$.
　综上，$0＜a＜1$或$a＜-4$.

10. (吉林)如图 22 - 13,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + c $ 经过点 $ A(0,1) $。点 $ P $,$ Q $ 在此抛物线上,其横坐标分别为 $ m $,$ 2m(m \gt 0) $,连接 $ AP $,$ AQ $。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点 $ Q $ 与此抛物线的顶点重合时,求 $ m $ 的值；
(3)当 $ \angle PAQ $ 的边与 $ x $ 轴平行时,求点 $ P $ 与点 $ Q $ 的纵坐标的差；
(4)设此抛物线在点 $ A $ 与点 $ P $ 之间部分(包括点 $ A $ 和点 $ P $)的最高点与最低点的纵坐标的差为 $ h_{1} $,在点 $ A $ 与点 $ Q $ 之间部分(包括点 $ A $ 和点 $ Q $)的最高点与最低点的纵坐标的差为 $ h_{2} $。当 $ h_{2} - h_{1} = m $ 时,直接写出 $ m $ 的值。

答案：
解:
∵抛物线$y=-x^{2}+2x+c$经过点A(0,1)，
∴c=1，
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+1$.
(2)
∵$y=-x^{2}+2x+1=-(x-1)^{2}+2$，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2).
∵点Q与此抛物线的顶点重合，且点Q的横坐标为2m，
∴2m=1，解得$m=\frac{1}{2}$.
(3)①当AQ//x轴时，点A，Q关于对称轴直线x=1对称，
∴$y_{Q}=1$，$x_{Q}=2m=2$，
∴m=1.
∴$y_{P}=-1^{2}+2×1+1=2$，
∴P(1,2)，Q(2,1)，
∴点P与点Q的纵坐标的差为2−1=1.
②当AP//x轴时，则A，P关于对称轴直线x=1对称，
∴$y_{P}=1$，$x_{P}=m=2$，
则$x_{Q}=2m=4$，$y_{Q}=-4^{2}+2×4+1=-7$，
∴P(2,1)，Q(4,−7)，
∴点P与点Q的纵坐标的差为1−(−7)=8.
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8.
(4)$m=\frac{1}{3}$或$m=\frac{5}{4}$.
点拨:①由题知A(0,1)，$P(m,-m^{2}+2m+1)$，$Q(2m,-4m^{2}+4m+1)$，如答图a所示，当点P，Q都在对称轴直线x=1的左侧时，
易知0＜2m＜1，
∴$0＜m＜\frac{1}{2}$.
由图象知$h_{1}=y_{P}-y_{A}=-m^{2}+2m+1-1=-m^{2}+2m$，
$h_{2}=y_{Q}-y_{A}=-4m^{2}+4m+1-1=-4m^{2}+4m$.
∵$h_{2}-h_{1}=m$，
∴$-4m^{2}+4m+m^{2}-2m=m$，
解得$m=\frac{1}{3}$或m=0(舍去);
　
②如答图b，当点P，Q在对称轴直线x=1两侧或其中一点在对称轴直线x=1上时，
易知$\begin{cases} 2m\geq1 \\ 0＜m\leq1 \end{cases}$，解得$\frac{1}{2}\leq m\leq1$.
由图象知$h_{1}=y_{P}-y_{A}=-m^{2}+2m$，$h_{2}=2-1=1$.
又$h_{2}-h_{1}=m$，
∴$1+m^{2}-2m=m$，
解得$m=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$(舍去)或$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$(舍去);
③如答图c，当点P，Q都在对称轴直线x=1的右侧且点P，Q分别在直线y=1上下方时，
易知1＜m＜2，
由图象知$h_{1}=2-1=1$，
$h_{2}=2-(-4m^{2}+4m+1)=4m^{2}-4m+1$，
又$h_{2}-h_{1}=m$，
∴$4m^{2}-4m+1-1=m$，
解得$m=\frac{5}{4}$或m=0(舍去);
　
④如答图d，当点P，Q都在直线y=1上方或在y=1下方时，
易知m≥2，
由图象知$h_{1}=2-(-m^{2}+2m+1)=m^{2}-2m+1$，
$h_{2}=2-(-4m^{2}+4m+1)=4m^{2}-4m+1$，
又$h_{2}-h_{1}=m$，
∴$4m^{2}-4m+1-(m^{2}-2m+1)=m$，
解得$m=1$(舍去)或$m=0$(舍去).
综上所述，$m=\frac{1}{3}$或$m=\frac{5}{4}$.