《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

5. (江西)如图 23 - 16,在□ABCD 中,∠B = 60°,BC = 2AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转角α(0° ＜ α ＜ 360°)得到 AP,连接 PC,PD.当△PCD 为直角三角形时,旋转角α的度数为90°，180°，270°.

答案： 90°，180°，270°

6. (眉山)如图 23 - 17,在方格纸中,已知格点△ABC 和点 O.
(1)画出与△ABC 关于点 O 成中心对称的△A′B′C′；
(2)请在方格网中标出所有使以点 A、O、C′、D 为顶点的四边形是平行四边形的 D 点.

答案：
(1) 画出 $\triangle A'B'C'$ 如图（实际作答时需在方格纸中准确画出）。
(2) $D$ 点的位置如图（实际作答时需在方格纸中准确标出 3 个 $D$ 点的位置）。

7. (河南)如图 23 - 18 甲,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C = 90°,∠B = ∠E = 30°.

(1)操作发现

如图 23 - 18 乙,固定△ABC,使△DEC 绕点 C 旋转.当点 D 恰好落在 AB 边上时：
①线段 DE 与 AC 的位置关系是______；
②设△BDC 的面积为 S_1,△AEC 的面积为 S_2,则 S_1 与 S_2 的数量关系是______；
(2)猜想论证
当△DEC 绕点 C 旋转到图 23 - 18 丙所示的位置时,小明猜想(1)中 S_1 与 S_2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC,CE 边上的高,请你证明小明的猜想；
(3)拓展探究
已知∠ABC = 60°,点 D 是其角平分线上一点,BD = CD = 4,DE//AB 交 BC 于点 E(如图 23 - 18 丁).若在射线 BA 上存在点 F,使$ S_{△DCF} = S_{△BDE},$请直接写出相应的 BF 的长.
(1)①DE//AC；②S₁=S₂；
(2)证明：∵△ABC≌△DEC，∴BC=EC，AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE。作DM⊥BC于M，AN⊥CE于N，则∠DMC=∠ANC=90°。在△DMC和△ANC中，∠DCM=∠ACN，∠DMC=∠ANC，DC=AC，∴△DMC≌△ANC(AAS)，∴DM=AN。∵S₁=1/2×BC×DM，S₂=1/2×CE×AN，BC=EC，DM=AN，∴S₁=S₂。
(3)4√3/3或8√3/3

答案：
(1)①
∵△ABC≌△DEC，∠A=∠D=60°，AC=DC，
∴△ACD为等边三角形，∠ACD=60°。又∠CDE=60°，
∴∠CDE=∠ACD，
∴DE//AC。
②设AC=DC=a，∠A=60°，则AD=AC=a，AB=2a，BD=AB-AD=a。∠BCD=30°，S₁=1/2×BC×DC×sin30°=1/2×a√3×a×1/2=a²√3/4。∠ACE=30°，S₂=1/2×AC×EC×sin30°=1/2×a×a√3×1/2=a²√3/4，
∴S₁=S₂。
(2)证明：
∵△ABC≌△DEC，
∴BC=EC，AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE。作DM⊥BC于M，AN⊥CE于N，则∠DMC=∠ANC=90°。在△DMC和△ANC中，∠DCM=∠ACN，∠DMC=∠ANC，DC=AC，
∴△DMC≌△ANC(AAS)，
∴DM=AN。
∵S₁=1/2×BC×DM，S₂=1/2×CE×AN，BC=EC，DM=AN，
∴S₁=S₂。
(3)4√3/3或8√3/3。