《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

阅读材料：如图 24-8-14①,$\triangle ABC的周长为l$,内切$\odot O的半径为r$,连接$OA$,$OB$,$OC$,$\triangle ABC$被划分为三个小三角形,用$S表示\triangle ABC$的面积.
因为$S = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} + S_{\triangle OCA}$,又因为$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}AB\cdot r$,$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2}BC\cdot r$,$S_{\triangle OCA} = \frac{1}{2}AC\cdot r$,
所以$S = \frac{1}{2}AB\cdot r + \frac{1}{2}BC\cdot r + \frac{1}{2}AC\cdot r = \frac{1}{2}l\cdot r$,
所以$r = \frac{2S}{l}$.
(1)理解与应用：利用阅读材料中的结论,计算三边长分别为 5,12,13 的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形$ABCD$存在内切圆(与各边都相切的圆,如图 24-8-14②)且四边形面积为$S$,各边长分别为$a$,$b$,$c$,$d$,试推导四边形的内切圆半径公式；
(3)拓展与延伸：若一个$n$边形($n$为不小于 3 的整数)存在内切圆,且$n边形面积为S$,各边长分别为$a_1$,$a_2$,$a_3$,…$$,$a_n$,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).

答案：
(1)由勾股定理的逆定理可知，三边长分别为5，12,13的三角形是直角三角形，其面积为30,这时$r=\frac{2×30}{5+12+13}=2$.
(2)设四边形ABCD的内切圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD,并设内切圆的半径为r,依照阅读材料提供的思路，可得:$S=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle ODA}=\frac{1}{2}a\cdot r+\frac{1}{2}b\cdot r+\frac{1}{2}c\cdot r+\frac{1}{2}d\cdot r$,所以$r=\frac{2S}{a+b+c+d}$.
(3)猜想:$r=\frac{2S}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$.点拨:通过阅读理解，我们学到了推导三角形内切圆半径公式的方法，并把这种方法运用到四边形的内切圆半径公式的推导上，进而推广到存在内切圆的任意多边形中去，体现了从特殊到一般的研究数学问题的方法.本题让我们的观察、分析、类比、猜想、探究等方面能力得到了很好的提高.

1. 两圆没有公共点时,两圆一定(D)
A.相交
B.外离
C.内含
D.外离或内含

答案： D 点拨:两圆没有公共点,则两圆可能是外离,也可能是内含.

2. 如图 24-9-1 所示,7×4 的方格(每个方格的边长为 1 个单位)中,⊙A 的半径为 1,⊙B 的半径为 2,将⊙A 由图示位置向右平移 1 个单位后,⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是(D)

A.内含
B.内切
C.相交
D.外切

答案： D

3. 已知$⊙O_1 $和$⊙O_2 $的半径分别为 1 和 4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距$ O_1O_2 $的取值范围在数轴上表示正确的是(A)

答案： A 点拨:相交时,$4-1＜O_{1}O_{2}＜4+1$,即$3＜O_{1}O_{2}＜5$.因为取值中不包含3和5两点,所以用空心圆圈表示,所以表示正确的为A.