《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2 $ 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(A)
A.向上、直线 $ x = 1 $、$(1,2)$
B.向上、直线 $ x = -1 $、$(-1,2)$
C.向上、直线 $ x = 1 $、$(1, -2)$
D.向下、直线 $ x = -1 $、$(-1,2)$

答案： A

2. 若抛物线 $ y = (x + 1)^2 - 2 $ 与 $ x $ 轴的正半轴相交于点 $ A $,则点 $ A $ 的坐标为($(\sqrt{2}-1,0)$)
A.$ (-1 - \sqrt{2},0) $
B.$ (\sqrt{2},0) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-1 + \sqrt{2},0) $

答案： D　点拨:令y=(x+1)²−2=0,解得x1=$\sqrt{2}$−1,x2=−$\sqrt{2}$−1,
∵点A在x轴的正半轴上，
∴A($\sqrt{2}$−1,0).

3. 二次函数 $ y = -2(x - 1)^2 $ 的图象大致是(B)

答案： B　点拨:二次函数y=−2(x−1)²的图象开口向下，对称轴是x=1,顶点坐标为(1，0),故选B.

4. 在二次函数 $ y = 5(x + 3)^2 - 2 $ 中,当 $ x $ ＞−3时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $ ＜−3时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $ −3时,函数 $ y $ 有 最小值(填“最大”或“最小”),这个值是 −2。

答案： ＞−3　＜−3　−3　最小　−2

5. 将二次函数 $ y = x^2 + 6x + 10 $ 配方化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式为y=(x+3)²+1,开口方向 ______ 向上,对称轴是 ______ 直线x=−3,顶点坐标是 ______ (−3,1)。

答案： y=(x+3)²+1　向上　直线x=−3　(−3,1)

6. 已知 $ y = a(x - h)^2 + k $ 是由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移 $ 2 $ 个单位,再向右平移 $ 1 $ 个单位得到的抛物线。
(1) 求 $ a $、$ h $、$ k $ 的值；
(2) 在同一直角坐标系中,画出 $ y = a(x - h)^2 + k $ 和 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象；
(3) 在二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 中,当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(4) 观察 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象,你能说出对于一切 $ x $ 的值,函数 $ y $ 的取值范围吗？

答案：

(1)将抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+2,所以a=−$\frac{1}{2}$,h=1,k=2.
(2)两个函数的图象如答图.
　　　　　
(3)观察y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+2的图象可知，当x＜1时,y随x的增大而增大.
(4)由图象知，函数的最大值是2，所以对于一切x的值，总有函数值y≤2.

1. 在平面直角坐标系中,如果抛物线 $ y = 2x^2 $ 不动,而把 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别向上、向右平移 $ 2 $ 个单位,那么在新坐标系下抛物线的表达式是(B)
A.$ y = 2(x - 2)^2 + 2 $
B.$ y = 2(x + 2)^2 - 2 $
C.$ y = 2(x - 2)^2 - 2 $
D.$ y = 2(x + 2)^2 + 2 $

答案： B

2. 已知二次函数 $ y = a(x + 1)^2 - b(a \neq 0) $ 有最小值 $ 1 $,则 $ a $、$ b $ 的大小关系为(A)
A.$ a ＞ b $
B.$ a ＜ b $
C.$ a = b $
D.不能确定

答案： A　点拨:
∵二次函数y=a(x+1)²−b(a≠0)有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0;又最小值为1,即−b=1,
∴b=−1,
∴a＞b.

3. 如图 $ 22 - 5 - 1 $,把抛物线 $ y = x^2 $ 沿直线 $ y = x $ 平移 $ \sqrt{2} $ 个单位后,其顶点在直线上的 $ A $ 处,则平移后的抛物线解析式是(C)


A.$ y = (x + 1)^2 - 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 1 $

答案： C　点拨:
∵点A在直线y=x上，
∴设A(m,m).
∵OA=$\sqrt{2}$，
∴m²+m²=($\sqrt{2}$)²,解得m=±1(m=−1舍去)，
∴m=1,
∴A(1,1),
∴抛物线解析式为y=(x−1)² +1.