《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. 若一元二次方程 $ (m - 3)x^{2}+2x + m^{2}-9 = 0 $ 的常数项为 0,则 $ m $ 的值为(B)
A.3
B.$ -3 $
C.$ \pm3 $
D.$ \pm9 $

答案： B 点拨:此题易出现选C项的错误，其原因是忽略了二次项系数不等于0的条件，应引起注意.

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0 $ 的一个根是 0,则 $ a $ 的值为(B)
A.1
B.$ -1 $
C.1 或 $ -1 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： B 点拨:本题考查对一元二次方程及其根的意义的理解和应用，将x=0代入方程，得a²-1=0，即a²=1，由平方根的意义可知a=±1，但作为一元二次方程，其二次项系数a-1≠0，故a≠1，所以a的值为-1.故选B.

3. 写出一个一元二次方程,使它的各项系数之和为 0,则这个方程是 x²-2x+1=0。

答案： x²-2x+1=0 点拨:答案不唯一.

4. 已知 $ a\neq0,a\neq b $,1 是方程 $ ax^{2}+bx - 10 = 0 $ 的一个根,则 $ \frac{a^{2}-b^{2}}{2a - 2b} $ 的值是 5。

答案： 5 点拨:将x=1代入方程得a+b=10，则(a²-b²)/(2a-2b)=[(a-b)(a+b)]/[2(a-b)]=(a+b)/2=5.

5. 有一面积是 $ 54\mathrm{cm}^{2} $ 的矩形,将它的一组对边剪短 $ 5\mathrm{cm} $,另一组对边剪短 $ 2\mathrm{cm} $ 后,恰好变成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
(1) 若设正方形的边长为 $ x\mathrm{cm} $,请根据题意列出方程；
(2) $ x $ 的值可能小于 0 吗？说说你的理由；
(3) 正方形的边长可能是 $ 2\mathrm{m} $ 吗？可能是 $ 3\mathrm{m} $ 吗？为什么？
(4) 请你用试验的方法估计出正方形的边长。

答案： 解:
(1)根据题意列方程得(x+5)(x+2)=54.
(2)x的值不可能小于0，因为正方形的边长不可能为负数.
(3)正方形的边长不可能是2m，也不可能是3m.将x=2和x=3分别代入方程(x+5)(x+2)=54，方程不成立，故不可能.
(4)由(x+5)(x+2)=54，化为一般形式为x²+7x-44=0，列表如下:x 3 4 5x²+7x-44 -14 0 16
∴x=4.

6. 根据题意,列出方程,化为一般形式,并指出各项系数：
(1) 一个直角三角形的斜边长为 $ 10\mathrm{cm} $,两条直角边长相差 $ 2\mathrm{cm} $,求较长直角边的长；
(2) 某工厂 2022 年的年产值为 200 万元,由于技术改进,每年的年产值有所增长,2024 年该工厂的年产值为 242 万元,求年平均增长率；
(3) 某学校计划在一块长 8 米、宽 6 米的矩形草坪的中央划出面积为 16 平方米的矩形地块栽花,使这矩形草坪四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度。

答案： 解:
(1)设较长直角边的长为x cm，则较短直角边的长为(x-2)cm，由勾股定理得x²+(x-2)²=10²，化为一般形式为x²-2x-48=0，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-48.
(2)设年平均增长率为x，则由题意得200(1+x)²=242，化为一般形式为x²+2x-0.21=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-0.21.
(3)设四周草地的宽为x米，则由题意得(8-2x)(6-2x)=16，化为一般形式为x²-7x+8=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为8.

7. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-2013x + 1 = 0 $ 的一个根,试求 $ a^{2}-2012a+\frac{2013}{a^{2}+1} $ 的值。

答案： 解:
∵a是方程x²-2013x+1=0的一个根，代入即得a²-2013a+1=0，
∴a²-2013a=-1，a²+1=2013a.
∴a²-2012a+2013/(a²+1)=(a²-2013a)+a+2013/(2013a)=-1+a+1/a=-1+(a²+1)/a=-1+(2013a)/a=-1+2013=2012.

已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 与 $ x^{2}+qx + p = 0(p\neq q) $ 有一个公共根,求 $ (p + q)^{2015} $ 的值。

答案： 解:设a是这两个方程的一个公共根，则a²+pa+q=0，a²+qa+p=0，
∴a²+pa+q=a²+qa+p，
∴(p-q)a=p-q.
∵p≠q，
∴a=1.把x=a=1代入x²+px+q=0，得p+q=-1.
∴(p+q)²⁰¹⁵=(-1)²⁰¹⁵=-1.