《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

【例 3】某商店经销一种销售成本为每千克 $40$ 元的水产品。据市场分析,若按每千克 $50$ 元销售,一个月能售出 $500$ 千克；销售单价每涨 $1$ 元,月销售量就减少 $10$ 千克。针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克 $55$ 元时,计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克 $x$ 元,试求出月销售利润 $y$(元)；(用含 $x$ 的代数式表示,不必写出 $x$ 的取值范围)
(3)商店想在月销售成本不超过 $10000$ 元的情况下,使得月销售利润达到 $8000$ 元,销售单价应定为多少？
解：(1)当销售单价定为每千克 $55$ 元时,
月销售量为 $500 - 10×(55 - 50)= 450$(千克),
月销售利润为 $(55 - 40)×450 = 6750$(元)。
(2)当销售单价定为每千克 $x$ 元时,
月销售量为 $[500 - 10×(x - 50)]$ 千克,
每千克的销售利润是 $(x - 40)$ 元,
所以月销售利润为 $(x - 40)[500 - 10×(x - 50)]$ 元,
即 $(-10x^{2}+1400x - 40000)$ 元,
$\therefore$ 月销售利润 $y = -10x^{2}+1400x - 40000$。
(3)要使月销售利润达到 $8000$ 元,即 $y = 8000$,
$\therefore -10x^{2}+1400x - 40000 = 8000$,
即 $x^{2}-140x + 4800 = 0$,解得 $x_{1}= 60$,$x_{2}= 80$。
当销售单价定为每千克 $60$ 元时,
月销售量为 $500 - (60 - 50)×10 = 400$(千克),
月销售成本为 $40×400 = 16000$(元)；
月销售单价定为每千克 $80$ 元时,
月销售量为 $500 - (80 - 50)×10 = 200$(千克),
月销售成本为 $40×200 = 8000$(元)；
由于 $8000\lt 10000\lt 16000$,而月销售成本不能超过 $10000$ 元,
$\therefore$ 销售单价应定为每千克 $80$ 元。
点拨：用一元二次方程解决以生活、决策、销售等为背景的实际问题是反映时代特色的热点数学问题,解决此类问题,读懂问题、建立方程模型是关键。

答案：
(1)月销售量：$500 - 10×(55 - 50) = 450$（千克）
月销售利润：$(55 - 40)×450 = 6750$（元）
(2)$y = (x - 40)[500 - 10(x - 50)] = -10x^2 + 1400x - 40000$
(3)依题意得$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8000$
整理得$x^2 - 140x + 4800 = 0$
解得$x_1 = 60$，$x_2 = 80$
当$x = 60$时，月销售量$= 500 - 10×(60 - 50) = 400$（千克），月销售成本$= 40×400 = 16000$（元）$＞ 10000$元，舍去；
当$x = 80$时，月销售量$= 500 - 10×(80 - 50) = 200$（千克），月销售成本$= 40×200 = 8000$（元）$\leq 10000$元
$\therefore$销售单价应定为$80$元。

1. 下列方程中,无论 $a$ 取何值时,总是关于 $x$ 的一元二次方程的是(D)
A.$(2a - 1)(x^{2}+3)= 2x^{2}-2$
B.$ax^{2}-2x - 9 = 0$
C.$ax^{2}+x = x^{2}-1$
D.$(a^{2}+1)x^{2}= 1$

答案： D

2. 下列解题过程正确的是(D)
A.若 $4x^{2}= 9$,则 $4x = \pm 3$,$x = \pm\frac{3}{4}$
B.若 $(x - 1)^{2}= 9$,则 $x - 1 = 3$,$x = 4$
C.若 $x^{2}+4x + 3 = 0$,则 $(x + 2)^{2}= 7$
D.若 $3x^{2}-6x - 45 = 0$,则 $(x - 1)^{2}= 16$

答案： D

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+bx + a = 0$ 有一个根是 $-a(a\neq 0)$,则 $a - b$ 的值为(A)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： A 点拨:将x=-a代入方程得a²-ba+a=0,即a(a-b+1)=0.
∵a≠0,
∴a-b+1=0,则a-b=-1.

4. 将方程 $(x + 2)(1 - 3x)= 2x$ 化成一般形式为3x²+7x-2=0。

答案： 3x²+7x-2=0