《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. 如图 24-8-8,$\triangle ABC的内切圆\odot O与各边相切于点D$、$E$、$F$,且$\angle FOD = \angle EOD = 135^{\circ}$,则$\triangle ABC$一定不是(B)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形

D.等腰直角三角形
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答案： B

2. 如图 24-8-9,正三角形内切圆的半径为 1,则正三角形的边长为(B)

A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.3

答案： B　点拨:利用圆外一点和圆心的连线平分过这点引的圆的两条切线的夹角，得出一个锐角是30°的直角三角形，利用勾股定理再进一步求解.

3. 如图 24-8-10,以正方形$ABCD的BC边为直径作半圆O$,过点$D作直线切半圆于点F$,交$AB于点E$,则$\triangle ADE和直角梯形EBCD$的周长之比为(D)

A.$3:4$

B.$4:5$
C.$5:6$
D.$6:7$
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答案： D　点拨:设正方形的边长为a,BE=x.由切线长定理知BE=EF=x,CD=DF=a,在Rt△AED中,AE=a−x,AD=a,DE=a+x.由勾股定理可知$DE^{2}=AE^{2}+AD^{2}$,所以$(a+x)^{2}=(a−x)^{2}+a^{2}$,解得$x=\frac{1}{4}a$.所以△DAE的周长为AD+AE+DE=3a.直角梯形EBCD的周长为BE+DE+CD+BC=$\frac{7}{2}a$.所以它们的比值为$3a:\frac{7}{2}a=6:7$.

4. 如图 24-8-11,AC是$\odot O$的直径$,\angle ACB = 60^{\circ},$连接AB,过A,B两点分别作$\odot O$的切线,两切线交于点P. 若已知$\odot O$的半径为 1,则$\triangle PAB$的周长为$3\sqrt{3}$.

答案： $3\sqrt{3}$　点拨:在Rt△ABC中求出AB的长，再证明△PAB是等边三角形，由此求出△PAB的周长.此题虽是填空题，但涉及的知识点较多.

5. 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用有一个锐角为$30^{\circ}$的三角板和一把刻度尺,按如图 24-8-12 所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得$PA = 5$ cm,求铁环的半径.
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答案：
解:设铁环的圆心为O,三角板与$\odot O$相切于点B,连接OP,OA(如答图24−8−2).
　　　　　　　
　　　　　　　答图24−8−2
因为AP,AB是$\odot O$的切线，所以OP⊥PA,∠PAO=$\frac{1}{2}$∠PAB=60°,所以∠POA=30°,所以OA=2PA=10cm,所以$OP=\sqrt{OA^{2}-PA^{2}}=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}(cm)$.所以铁环的半径为$5\sqrt{3}\ cm$.点拨:本题以生活问题为背景，考查了我们对切线长定理的理解和运用.此类题关键是将实际问题转化为数学问题，体现了数学的转化思想.

6. 如图 24-8-13,$P是\odot O$外一点,$PA$,$PB分别和\odot O切于A$,$B$,$PA = PB = 4$ cm,$\angle APB = 40^{\circ}$,$C是\overset{\frown}{AB}$上任意一点,过$C作\odot O$的切线,分别交$PA$,$PB于D$,$E$. 求：
(1)$\triangle PDE$的周长；
(2)$\angle DOE$的度数.
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答案：

(1)如答图24−8−3,
　　　　　　
连接OA,OB,OC.
∵PA,PB,DE分别是$\odot O$的切线,A,B,C为切点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
∴DA=DC,EB=EC,
∴DE=DC+CE=DA+EB,
∴△PDE的周长为PD+PE+DE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=4+4=8(cm).
(2)
∵PA,PB为$\odot O$的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°,在四边形APBO中,∠AOB=180°−∠P=140°,
∵DA,DC为$\odot O$的切线,
∴DA=DC,∠ADO=∠CDO,又
∵DO=DO,
∴△ADO≌△CDO,
∴∠1=∠2.同理∠3=∠4,
∴∠DOE=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$.