《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

【例 1】(1)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$ 的一个根是 $0$,则 $a$ 的值为(B)
A.$1$
B.$-1$
C.$1$ 或 $-1$
D.$\frac{1}{2}$

答案：
(1)
将$x = 0$代入方程$(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$，得$a^{2}-1 = 0$，
解得$a = 1$或$a = -1$。
因为方程$(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以$a - 1\neq 0$，即$a\neq 1$。
所以$a = -1$，答案选B。

(2)关于 $x$ 的方程 $(m + 2)^{2}x^{2}+3m^{2}x + m^{2}-4 = 0$ 有一个根为 $0$,则 $2m^{2}-4m + 3$ 的值为( )
A.$3$
B.$19$
C.$\pm 2$
D.$3$ 或 $19$

答案：
(2)
将$x = 0$代入方程$(m + 2)^{2}x^{2}+3m^{2}x + m^{2}-4 = 0$，得$m^{2}-4 = 0$，
解得$m = \pm 2$。
当$m = 2$时，$2m^{2}-4m + 3=2×2^{2}-4×2 + 3=3$。
当$m = -2$时，$(m + 2)^{2}=0$，方程为一元一次方程，符合题意，$2m^{2}-4m + 3=2×(-2)^{2}-4×(-2)+3 = 19$。
所以所求代数式的值为$3$或$19$，答案选D。

【例 2】当 $m$ 为何值时,关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-(2m - 3)x + m + 1 = 0$：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：$\because$ 此方程是关于 $x$ 的一元二次方程,
$\therefore m + 1\neq 0$,$\therefore m\neq -1$。
$\because a = m + 1$,$b = -(2m - 3)$,$c = m + 1$,
$\therefore b^{2}-4ac = [-(2m - 3)]^{2}-4×(m + 1)×(m + 1)$
$= -20m + 5$。
(1)当 $-20m + 5\gt 0$ 时,解得 $m\lt \frac{1}{4}$。
即当 $m\lt \frac{1}{4}$ 且 $m\neq -1$ 时,原方程有两个不相等的实数根。
(2)当 $-20m + 5 = 0$ 时,解得 $m = \frac{1}{4}$。
即当 $m = \frac{1}{4}$ 时,原方程有两个相等的实数根。
(3)当 $-20m + 5\lt 0$ 时,解得 $m\gt \frac{1}{4}$。
即当 $m\gt \frac{1}{4}$ 时,原方程没有实数根。
点拨：此类题目需要根据一元二次方程的根的多少来确定方程中的字母系数的取值范围,但一定要注意 $b^{2}-4ac$(即根的判别式)的使用前提：方程必须是一元二次方程。

答案： 解：$\because$ 方程是关于 $x$ 的一元二次方程，$\therefore m + 1\neq 0$，即 $m\neq -1$。
$\because a = m + 1$，$b = -(2m - 3)$，$c = m + 1$，
$\therefore b^{2}-4ac = [-(2m - 3)]^{2}-4(m + 1)(m + 1) = 4m^{2}-12m + 9 - 4(m^{2} + 2m + 1) = 4m^{2}-12m + 9 - 4m^{2}-8m - 4 = -20m + 5$。
(1) 当 $b^{2}-4ac\gt 0$ 时，$-20m + 5\gt 0$，解得 $m\lt \frac{1}{4}$。又 $\because m\neq -1$，$\therefore m\lt \frac{1}{4}$ 且 $m\neq -1$。
(2) 当 $b^{2}-4ac = 0$ 时，$-20m + 5 = 0$，解得 $m = \frac{1}{4}$。
(3) 当 $b^{2}-4ac\lt 0$ 时，$-20m + 5\lt 0$，解得 $m\gt \frac{1}{4}$。
(1) $m\lt \frac{1}{4}$ 且 $m\neq -1$；
(2) $m = \frac{1}{4}$；
(3) $m\gt \frac{1}{4}$。