《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

10. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长$25m$),另三边用木栏围成,木栏长$40m$。
(1)养鸡场的面积能达到$180m^2$吗？能达到$200m^2$吗？为什么？
(2)养鸡场的面积能达到$210m^2$吗？为什么？

答案：
(1)都能达到.理由如下:设与墙垂直的边为x m,则与墙相对的边为(40-2x)m,依题意,得x(40-2x)=180,整理,得x²-20x+90=0,x₁=10+√10,x₂=10-√10,则40-2x=40-20-2√10=20-2√10或40-2x=40-20+2√10=20+2√10(不合题意,舍去);同理x(40-2x)=200,x₁=x₂=10,40-2x=40-20=20.
(2)不能达到.理由如下:依题意,得x(40-2x)=210,即x²-20x+105=0,配方,得x²-20x+10²=-105+100,
∴(x-10)²=-5.
∵一个数的平方不能是负数,
∴无实数根,即养鸡场的面积不能达到210 m².

如果把一根长$16m$的铁丝截成两段,且用这两段铁丝各自围成一个正方形。试试看,怎样分才能使两个正方形的面积和最小？并说明理由。

答案： 解:设一段铁丝长为x m,则另一段铁丝长为(16-x)m,由题意知,S=(x/4)²+((16-x)/4)²=1/16[x²+(16-x)²]=1/8(x²-16x+128)=1/8(x-8)²+8,则当x=8时,S有最小值.即将这段铁丝分别截成8 m,8 m的两段,才能使两个正方形的面积和最小.

1. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + 2 = 0 $ 的根是(C)
A.$ x = 1 \pm \sqrt{3} $
B.$ x = -1 \pm \sqrt{3} $
C.无实根
D.$ x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + m = 0 $ 没有实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是(C)
A.$ m ＜ 1 $
B.$ m ＞ -1 $
C.$ m ＞ 1 $
D.$ m ＜ -1 $

答案： C

3. 一元二次方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的根的情况为(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： B 点拨:$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-1)$$=8＞0$,故方程有两个不相等的实数根,故选 B.

4. 用公式法解方程 $ 3x^{2}-5x + 1 = 0 $,正确的结果是(C)
A.$ x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6} $
B.$ x = \frac{-5 - \sqrt{13}}{3} $
C.$ x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} $
D.$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6} $

答案： C

5. 方程 $ (2x + 1)(x + 2) = 1 $,化为一般形式为$2x^{2}+5x+1=0$,$ b^{2}-4ac = $17$ ＞ 0 $,用求根公式求得 $ x_{1} = $$\frac {-5-\sqrt {17}}{4}$,$ x_{2} = $$\frac {-5+\sqrt {17}}{4}$.

答案： $2x^{2}+5x+1=0$ 17 $\frac {-5-\sqrt {17}}{4}$ $\frac {-5+\sqrt {17}}{4}$

6. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx + 3 = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的值可以为4(答案不唯一).(任意给出一个符合条件的值即可)

答案： 4(答案不唯一)

7. 利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)$ 2x^{2}+3x - 4 = 0 $；
(2)$ 4y^{2}+9 = 12y $；
(3)$ 5(x^{2}+1)-7x = 0 $.

答案： 解:
(1)$2x^{2}+3x - 4 = 0$；$a=2,b=3,c=-4,\Delta =b^{2}-4ac=3^{2}-4×2×(-4)=9+32=41＞0$,方程有两个不相等的实数根.
(2)$4y^{2}+9 = 12y$；整理,得$4y^{2}-12y+9=0.a=4,b=-12,c=9,\Delta =b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×4×9=144-144=0$,方程有两个相等的实数根.
(3)$5(x^{2}+1)-7x = 0$；整理,得$5x^{2}-7x+5=0,a=5,b=-7,c=5,\Delta =b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×5×5=49-100=-51＜0$,方程没有实数根.