《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

7. 设 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两根,则 $x_1 + x_2 + x_1x_2 = $0。

答案： 0 点拨:
∵x₁、x₂是方程x²-x-1=0的两根,
∴x₁+x₂=1,x₁x₂=-1,
∴x₁+x₂+x₁x₂=1-1=0.

8. 设 $x_1$,$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - mx - 6 = 0$ 的两个根,且 $x_1 + x_2 = 1$,则 $x_1 = $-2,$x_2 = $3。

答案： -2 3(两空顺序可颠倒)

9. 已知 $x_1$ 和 $x_2$ 为一元二次方程 $2x^2 - 2x + 3m - 1 = 0$ 的两个实数根,并且 $x_1$ 和 $x_2$ 满足不等式 $\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2 - 4} ＜ 1$,则实数 $m$ 的取值范围为$-5/3＜m≤1/2$。

答案： -5/3＜m≤1/2 点拨:因为方程有两个实数根,所以Δ=(-2)²-4×2×(3m-1)≥0,解得m≤1/2.又因为x₁、x₂是方程2x²-2x+3m-1=0的两个实数根,由一元二次方程根与系数的关系知,x₁+x₂=1,x₁x₂=(3m-1)/2,而(x₁x₂)/(x₁+x₂-4)＜1,即(1/2(3m-1))/(1-4)＜1,解得m＞-5/3,故m的取值范围是-5/3＜m≤1/2.

10. 已知方程 $x^2 - 6x + 7 = 0$ 的两个根是一个直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积和斜边的长。

答案： 解:设方程的两个根分别为x₁,x₂,则x₁+x₂=6,x₁x₂=7.
∵x₁,x₂是直角三角形的两条直角边的长,
∴直角三角形的面积S=1/2x₁x₂=7/2.设斜边长为c,由勾股定理,得c²=x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=6²-2×7=22,
∴c=√22(负值舍去).

11. 设 $x_1$,$x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2ax + a^2 + 4a - 2 = 0$ 的两个实数根,当 $a$ 为何值时,$x_1^2 + x_2^2$ 有最小值？最小值是多少？

答案： 解:
∵Δ=(2a)²-4(a²+4a-2)≥0,
∴a≤1/2.
∵x₁+x₂=-2a,x₁x₂=a²+4a-2,
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=2(a-2)²-4.
∵a≤1/2,
∴当a=1/2时,x₁²+x₂²的值最小,此时x₁²+x₂²=1/2,即最小值为1/2.

12. 已知 $x_1$,$x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 6x + k = 0$ 的两个实数根,且 $x_1^2x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$。求：
(1) $k$ 的值；
(2) $x_1^2 + x_2^2 + 8$ 的值。

答案：
(1)解:
∵x₁,x₂是方程x²-6x+k=0的两个根,
∴x₁+x₂=6,x₁x₂=k,
∴k²-6=115,解得k₁=11,k₂=-11.当k₁=11时,b²-4ac=36-44＜0,
∴k=11不符合题意,舍去;当k₂=-11时,b²-4ac=36+44＞0,
∴k=-11符合题意,
∴k的值为-11.
(2)
∵x₁+x₂=6,x₁x₂=-11,
∴x₁²+x₂²+8=(x₁+x₂)²-2x₁x₂+8=36+2×11+8=66.

阅读下面的材料：
老师出了一道题：已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (8 - 4m)x + 4m^2 = 0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,且 $x_1^2 + x_2^2 = 136$,求正数 $m$ 的值。
小玉的解法如下：
解：$\because x_1 + x_2 = 4m - 8$,$x_1x_2 = 4m^2$,又 $\because x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$,$\therefore (4m - 8)^2 - 2 × 4m^2 = 136$,解得 $m_1 = -1$,$m_2 = 9$。
问题：
小玉的解法对吗？如果不对,她错在哪里？应如何改正？

答案： 解:小玉的解法不正确.因为解出的m的值中,m=9时,b²-4ac＜0,应舍去,又题中要求正数m的值,因此m=-1也应舍去,综上,m的值不存在.