《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. 若 $x_1$、$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 + 4x + 3 = 0$ 的两个根,则 $x_1x_2$ 的值是(B)
A.$4$
B.$3$
C.$-4$
D.$-3$

答案： B

2. 已知 $\alpha$、$\beta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2m + 3)x + m^2 = 0$ 的两个不相等的实数根,且满足 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -1$,则 $m$ 的值是(B)
A.$3$ 或 $-1$
B.$3$
C.$1$
D.$-3$ 或 $1$

答案： B 点拨:由题意,得Δ=(2m+3)²-4m²＞0,解得m＞-3/4,且1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=-(2m+3)/m²=-1,解得m=3.

3. 若 $x_1$、$x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - 4x - 5 = 0$ 的两根,则 $x_1 \cdot x_2$ 的值为(A)
A.$-5$
B.$5$
C.$-4$
D.$4$

答案： A

4. 方程 $2x^2 + 6x - 1 = 0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$,则 $x_1 + x_2$ 等于(C)
A.$-6$
B.$6$
C.$-3$
D.$3$

答案： C

5. 在下列方程中,以 $3$,$-4$ 为根的一元二次方程是(B)
A.$x^2 - x - 12 = 0$
B.$x^2 + x - 12 = 0$
C.$x^2 - x + 12 = 0$
D.$x^2 + x + 12 = 0$

答案： B

6. 一元二次方程 $x^2 - ax - 3a = 0$ 的两根之和为 $2a - 1$,则两根之积为-3。

答案： -3

7. 已知一元二次方程 $y^2 + 3y + 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $y_1$、$y_2$,则 $(y_1 - 1)(y_2 - 1)$ 的值为5。

答案： 5 点拨:(y₁-1)(y₂-1)=y₁y₂-(y₁+y₂)+1=1-(-3)+1=5.

8. 设方程 $3x^2 + 2x - 3 = 0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,求下列代数式的值：
(1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$。

答案： 解:
∵a=3,b=2,c=-3,
∴b²-4ac=2²-4×3×(-3)=40＞0,
∴x₁+x₂=-2/3,x₁x₂=-1.
(1)1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=2/3.
(2)x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4/9+2=22/9.

1. 已知 $a$,$b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + nx - 1 = 0$ 的两个实数根,则式子 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值是(D)
A.$n^2 + 2$
B.$-n^2 + 2$
C.$n^2 - 2$
D.$-n^2 - 2$

答案： D

2. 一元二次方程 $x^2 - 3x - 1 = 0$ 与 $x^2 - x + 3 = 0$ 的所有实数根的和等于(3)
A.$2$
B.$-4$
C.$4$
D.$3$

答案： D 点拨:因为方程x²-x+3=0的判别式Δ=(-1)²-4×1×3=-11＜0,故此方程无实数根,而方程x²-3x-1=0的两根x₁、x₂的和为x₁+x₂=3,从而两个方程所有实数根的和等于3.

3. 已知 $\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$,$\beta^2 + \beta - 1 = 0$,且 $\alpha \neq \beta$,则 $\alpha\beta + \alpha + \beta$ 的值为(B)
A.$2$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$

答案： B 点拨:因为α≠β,所以α、β可看作一元二次方程x²+x-1=0的两个根,于是α+β=-1,αβ=-1,从而αβ+α+β=-2.

4. 如果关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$ 有实数根 $\alpha$、$\beta$,那么 $\alpha + \beta$ 的取值范围是(A)
A.$\alpha + \beta \geq 1$
B.$\alpha + \beta \leq 1$
C.$\alpha + \beta \geq \frac{1}{2}$
D.$\alpha + \beta \leq \frac{1}{2}$

答案： A 点拨:由Δ=[-2(1-k)]²-4×1×k²=4-8k≥0,得k≤1/2,即1-k≥1/2,
∴α+β=2(1-k)≥1.

5. 若 $\alpha$、$\beta$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两根,则代数式 $\alpha^2 + 2\beta^2 - 3\beta$ 的值是(B)
A.$21$
B.$24$
C.$27$
D.$29$

答案： B 点拨:α²+2β²-3β=(α+β)²+(β²-3β-5)-2αβ+5=3²+0-2×(-5)+5=24.

6. 已知一元二次方程 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的两个根是 $x_1$、$x_2$,则 $x_1 + x_2 = $2,$x_1x_2 = $-1,$x_1^2 + x_2^2 = $6。

答案： 2 -1 6 点拨:由根与系数的关系知x₁+x₂=2,x₁x₂=-1,x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=6.