《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

5. 如图 23 - 1 - 10,已知等边三角形内有一点 O,且 OA = 4,OB = 3,OC = 5,求∠AOB 的度数.

答案： 解:如答图23-1-3,把△BOA绕B点顺时针旋转60°,得到△BPC,连接OP,由旋转的性质,得BP=BO,∠OBP=60°,
∴△OBP为等边三角形,
∴OP=OB=3.又PC=OA=4,OC=5,
∴OP²+PC²=OC²,
∴∠OPC=90°,而∠OPB=60°,
∴∠CPB=60°+90°=150°,
∴∠AOB=∠CPB=150°.

6. 如图 23 - 1 - 11,△ABC 和△CDE 都是等边三角形.
(1)试说明图①中 AD = BE 的理由；
(2)如将△CDE 绕 C 点顺时针旋转至图②时,AD = BE 还成立吗？简要说明理由.

答案：
(1)
∵△ABC和△CDE都为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∴AC - CD=BC - CE,
∴AD=BE.；
(2)AD=BE还成立.理由如下:当△CDE绕C点旋转时,旋转角为∠BCE或∠ACD,
∴∠BCE=∠ACD,可证△BCE≌△ACD,
∴AD=BE.

已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A,点 G,E 分别在线段 AD,AB 上.
(1)如图 23 - 1 - 12①,连接 DF,BF,若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转,判断“在旋转的过程中,线段 DF 与 BF 的长始终相等”是否正确,若正确,请说明为什么；若不正确,请举出反例说明；
(2)若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转,连接 DG,如图 23 - 1 - 12②,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长始终相等？并画图说明.

答案：
(1)不正确.若将正方形AEFG绕点A顺时针旋转45°,这时点F落在边AB上(如答图23-1-4所示),根据“垂线段最短”的性质,可知DF＞AD,而AD=AB,BF是AB的一部分,因此有DF＞BF,即此时线段DF与BF的长不相等.；
(2)连接BE,BE=DG.理由如下:
∵四边形ABCD,AEFG是正方形,
∴AD=AB,AG=AE.又∠DAG+∠GAB=90°,∠GAB+∠BAE=90°,
∴∠DAG=∠BAE,
∴△ABE可以看作是由△ADG绕点A顺时针旋转而得,
∴BE=DG.