《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

【例 4】某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资 $ A $ 种产品,则所获利润 $ y_{A} $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在正比例函数关系：$ y_{A} = kx $,并且当投资 $ 5 $ 万元时,可获利润 $ 2 $ 万元。
信息二：如果单独投资 $ B $ 种产品,则所获利润 $ y_{B} $(万元)与投资金额 $ x $(万元)之间存在二次函数关系：$ y_{B} = ax^{2} + bx $,并且当投资 $ 2 $ 万元时,可获利润 $ 2.4 $ 万元；当投资 $ 4 $ 万元时,可获利润 $ 3.2 $ 万元。
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2)如果企业同时对 $ A $、$ B $ 两种产品共投资 $ 10 $ 万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少。
解：(1)$\because x = 5$,$y_{A} = 2$,$\therefore 2 = 5k$,
解得 $ k = 0.4 $,$\therefore y_{A} = 0.4x$,
同理,有 $\begin{cases}2.4 = 4a + 2b \\ 3.2 = 16a + 4b\end{cases} $,解得 $\begin{cases}a = -0.2 \\ b = 1.6\end{cases} $。
$\therefore y_{B} = -0.2x^{2} + 1.6x$。
(2)设投资 $ B $ 种产品 $ x $ 万元,则投资 $ A $ 种产品 $ (10 - x) $ 万元,获得利润 $ W $ 万元。
根据题意,得 $ W = -0.2x^{2} + 1.6x + 0.4(10 - x) = -0.2x^{2} + 1.2x + 4 = -0.2(x - 3)^{2} + 5.8 $。
由 $ W = -0.2(x - 3)^{2} + 5.8 $ 知,当投资 $ B $ 种产品 $ 3 $ 万元时,可获得最大利润 $ 5.8 $ 万元,$\therefore$ 方案应为：投资 $ A $ 种产品 $ 7 $ 万元,$ B $ 种产品 $ 3 $ 万元,这样投资可以获得最大利润 $ 5.8 $ 万元。
点拨：本题以投资与利润为背景,利用待定系数法确定正比例函数和二次函数,再考虑由它们组成的新函数的最大值。

答案： 解：
(1)对于正比例函数$y_{A}=kx$，将$x=5$，$y_{A}=2$代入，得$2 = 5k$，解得$k = 0.4$，所以$y_{A}=0.4x$。
对于二次函数$y_{B}=ax^{2}+bx$，将$\begin{cases}x=2,y_{B}=2.4\\x=4,y_{B}=3.2\end{cases}$代入，得$\begin{cases}2.4 = 4a + 2b\\3.2 = 16a + 4b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-0.2\\b=1.6\end{cases}$，所以$y_{B}=-0.2x^{2}+1.6x$。
(2)设投资$B$种产品$x$万元，则投资$A$种产品$(10 - x)$万元，总利润$W$万元。
$W=-0.2x^{2}+1.6x + 0.4(10 - x)=-0.2x^{2}+1.2x + 4=-0.2(x - 3)^{2}+5.8$。
当$x = 3$时，$W$最大为$5.8$，此时投资$A$种产品$10 - 3=7$万元。
答：投资$A$种产品$7$万元，$B$种产品$3$万元，最大利润$5.8$万元。

1. 将抛物线 $ y = x^{2} - 6x + 5 $ 向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线表达式是(D)
A.$ y = (x - 4)^{2} - 6 $
B.$ y = (x - 1)^{2} - 3 $
C.$ y = (x - 2)^{2} - 2 $
D.$ y = (x - 4)^{2} - 2 $

答案： D

2. 已知抛物线 $ y = x^{2} - x - 1 $ 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (m,0) $,则代数式 $ m^{2} - m + 2008 $ 的值为(D)
A.2006
B.2007
C.2008
D.2009

答案： D

3. 二次函数 $ y = (x - 1)^{2} + 2 $ 的最小值是(B)
A.$ -2 $
B.2
C.$ -1 $
D.1

答案： B