《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

6. 已知 $ y = - 2x^{2} - 1 $,当 $ x = $0时,$ y $ 有最大值是−1.

答案： 0　大　−1

7. 如图 22 - 3 - 2,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部 $ 3m $ 时,水面宽 $ AB $ 为 $ 6m $,当水位上升 $ 0.5m $ 时：
(1)水面的宽度 $ CD $ 为多少米？
(2)有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳篷,此船正对着桥洞在上述河流中航行.
① 若游船宽(指船的最大宽度)为 $ 2m $,从水面到篷顶的高度为 $ 1.8m $,问这艘游船能否从桥洞下通过？
② 若从水面到篷顶的高度为 $ \frac{7}{4}m $ 的游船刚好能从桥洞下通过,则这艘游船的最大宽度是多少米？

答案： 解:
(1)设该抛物线的函数关系式为y=ax²+c.
∵点A(3,0)和E(0,3)在函数图象上，
∴$\begin{cases}9a + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{3}\\c = 3\end{cases}$，
∴y = $-\frac{1}{3}$x² + 3.
　由题意可知，点C和点D的纵坐标为0.5，
∴$-\frac{1}{3}$x² + 3 = 0.5，
∴$x_1 = \frac{\sqrt{30}}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴CD = $\frac{\sqrt{30}}{2}-(-\frac{\sqrt{30}}{2})=\sqrt{30}$(m).
(2)①当x = 1时，y = $\frac{8}{3}$，
∵$\frac{8}{3}-0.5＞1.8$，
∴这艘游船能从桥洞下通过.
　②当y = $\frac{7}{4}+0.5=\frac{9}{4}$时，即$-\frac{1}{3}$x² + 3 = $\frac{9}{4}$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$.
∴这艘游船的最大宽度是3m.

1. 已知点 $ (x_{1},y_{1}) $,$ (x_{2},y_{2}) $ 均在抛物线 $ y = x^{2} - 1 $ 上,下列说法中正确的是(D)
A.若 $ y_{1} = y_{2} $,则 $ x_{1} = x_{2} $
B.若 $ x_{1} = - x_{2} $,则 $ y_{1} = - y_{2} $
C.若 $ 0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} $,则 $ y_{1} ＞ y_{2} $
D.若 $ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0 $,则 $ y_{1} ＞ y_{2} $

答案： D

2. 在平面直角坐标系中,将二次函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象向上平移 $ 2 $ 个单位,所得图象的解析式为(B)
A.$ y = 2x^{2} - 2 $
B.$ y = 2x^{2} + 2 $
C.$ y = 2(x - 2)^{2} $
D.$ y = 2(x + 2)^{2} $

答案： B

3. 如图 22 - 3 - 3,两条抛物线 $ y_{1} = - \frac{1}{2}x^{2} + 1 $,$ y_{2} = - \frac{1}{2}x^{2} - 1 $ 与分别经过点 $ (- 2,0) $,$ (2,0) $ 且平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(A)
A.$ 8 $
B.$ 6 $
C.$ 10 $
D.$ 4 $

答案： A　点拨:两条抛物线的形状相同，利用图形的平移，便可知阴影部分的面积为8.

4. 小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 $ y = - \frac{1}{5}x^{2} + 3.5 $ 的一部分,如图 22 - 3 - 4,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离 $ l $ 是4 $ m $.

答案： 4

5. 已知抛物线 $ y = 2x^{2} $,能否通过上、下平移抛物线,使之过点 $ (2,4) $？如果能,说出平移的方向和距离；如果不能,试说明理由.

答案： 解:方法一:能.理由如下:
　设平移后的抛物线的关系式为y = 2x² + k.将点(2,4)代入关系式，得2×2² + k = 4，解得k = -4.
　所以平移后的抛物线的关系式为y = 2x² - 4.故应将抛物线y = 2x²向下平移4个单位可过点(2,4).
　方法二:能.理由如下:
　当x = 2时，y = 2×2² = 8，所以抛物线过点(2,8).
　将点(2,8)向下平移4个单位可得点(2,4).所以将抛物线y = 2x²向下平移4个单位可过点(2,4).
　点拨:本题考查了抛物线的平移，我们可用抛物线上的点的平移代表抛物线的平移，当抛物线y = ax²上(k＞0)、下(k＜0)平移|k|个单位时，平移后的关系式为y = ax² + k.