《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

4. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^{2} - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点的个数是(B)
A.3
B.2
C.1
D.0

答案： B

5. 如图 22 - 4,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过点 $ (-2,0) $,$ (3,0) $。下列结论：① $ \frac{ab}{c} \gt 0 $；② $ c = 2b $；③ 若抛物线上有点 $ (\frac{5}{2},y_{1}) $,$ (-3,y_{2}) $,$ (-\frac{1}{2},y_{3}) $,则 $ y_{2} \lt y_{1} \lt y_{3} $；④ 方程 $ cx^{2} + bx + a = 0 $ 的解为 $ x_{1} = \frac{1}{2} $,$ x_{2} = -\frac{1}{3} $。其中正确的个数是(D)


A.4
B.3
C.2
D.1

答案： D　点拨:
∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{ab}{c}$＜0，故①错误;
∵抛物线y=$ax^{2}+bx+c$经过点(−2,0)，(3,0)，
∴对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，即$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，
∴a=−b.把(−2,0)的坐标代入$y=ax^{2}+bx+c$得$4a−2b+c=−4b−2b+c=0$，
∴c=6b，故②错误;
∵抛物线开口向下，$\left|-3-\frac{1}{2}\right|＞\left|\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right|＞\left|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right|$，
∴$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$，故③正确;
∵a=−b，c=6b，
∴方程$cx^{2}+bx+a=0$可变成$6bx^{2}+bx−b=0$，即$6x^{2}+x−1=0$，解得$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$，故④错误.故选D.

6. 已知二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + m $ 的部分图象如图 22 - 5 所示,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^{2} + 2x + m = 0 $ 的解为 $x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。

答案： $x_{1}=-1$，$x_{2}=3$

7. 请选择一组你喜欢的 $ a $,$ b $,$ c $ 的值,使二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象同时满足下列条件：① 开口向下；② 当 $ x \lt 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x \gt 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是 $y=-(x-2)^{2}$(答案不唯一)。

答案： $y=-(x-2)^{2}$(答案不唯一)

8. 如图 22 - 6,已知二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点,与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点,则 $ \triangle ABC $ 的面积为 3。

答案： 3

9. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22 - 7 所示,则点 $ P(a,bc) $ 在第 三象限。

答案： 三

10. 如图 22 - 8,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-3,0) $,$ B(1,0) $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $。
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $,若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解:
(1)由抛物线与x轴交于A(−3,0)，(1,0)两点，得$\begin{cases} (-3)^{2}\cdot a-3b+3=0 \\ a+b+3=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=-1 \\ b=-2 \end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^{2}-2x+3$.
(2)存在，点P的坐标为(−2,3)或(3,−12).理由如下:
∵A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=4，抛物线$y=-x^{2}-2x+3$与y轴交于点C，且x=0时，y=3，
∴C点的坐标为(0,3)，
∴OC=3，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=3$.作PE//x轴交直线BC于点E，如答图22−1.设直线BC的表达式为$y=kx+m$，将B，C的坐标代入得$\begin{cases} k+m=0 \\ 3=m \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-3 \\ m=3 \end{cases}$，
∴直线BC的表达式为$y=-3x+3$.设点P的坐标为$(t,-t^{2}-2t+3)$，令$-3x+3=-t^{2}-2t+3$，解得$x=\frac{t^{2}+2t}{3}$，
∴$E(\frac{t^{2}+2t}{3},-t^{2}-2t+3)$，
∴$PE=\left|\frac{t^{2}+2t}{3}-t\right|=\left|\frac{t^{2}-t}{3}\right|$，
∴$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}×\left|\frac{t^{2}-t}{3}\right|×3=3$，解得t=−2或3，
∴点P的坐标为(−2,3)或(3,−12).
　　　　　　　　　　　　　

11. “端午节”吃粽子是中国传统习俗,在“端午节”来临前,某超市购进一种品牌粽子,每盒进价是 $ 40 $ 元,并规定每盒售价不得少于 $ 50 $ 元,日销售量不低于 $ 350 $ 盒。根据以往销售经验发现,当每盒售价定为 $ 50 $ 元时,日销售量为 $ 500 $ 盒,每盒售价每提高 $ 1 $ 元,日销售量减少 $ 10 $ 盒。设每盒售价为 $ x $ 元,日销售量为 $ p $ 盒。
(1)当 $ x = 60 $ 时,$ p = $ 400。
(2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润 $ W $(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时,日销售额不是最大。”小红说：“当日销售利润不低于 $ 8000 $ 元时,每盒售价 $ x $ 的范围为 $ 60 \leq x \leq 80 $。”你认为他们的说法正确吗？若正确,请说明理由；若不正确,请直接写出正确的结论。

答案：
(1)400　点拨:由题意可得，$p=500−10(x−50)=−10x+1000$，即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是$p=−10x+1000$.当x=60时，$p=−10×60+1000=400(x\geq50)$.
　解:
(2)由题意可得，$W=(x−40)(−10x+1000)=−10x^{2}+1400x−40000=−10(x−70)^{2}+9000$.
∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴$\begin{cases} x\geq50 \\ p\geq350 \end{cases}$，即$\begin{cases} x\geq50 \\ -10x+1000\geq350 \end{cases}$，解得$50\leq x\leq65$.
∴当x=65时，W取得最大值，此时W=8750.
　故当每盒售价定为65元时，日销售利润W(元)最大，最大利润是8750元.
(3)小强:
∵$50\leq x\leq65$，设日销售额为y元，则$y=x\cdot p=x(−10x+1000)=−10x^{2}+1000x=−10(x−50)^{2}+25000$，当x=50时，y值最大，此时y=25000.当x=65时，W值最大，此时W=8750.
∴小强正确.
　小红:当日销售利润不低于8000元时，即$W\geq8000$，$−10(x−70)^{2}+9000\geq8000$，解得$60\leq x\leq80$.
∵$50\leq x\leq65$，
∴当日销售利润不低于8000元时，$60\leq x\leq65$.
　故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，$60\leq x\leq65$.