《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

6. 在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中,我们称每个小正方形的顶点为格点,以格点为顶点的图形称为格点图形. 如图23-5-8中的△ABC称为格点△ABC.
(1)如果A、D两点的坐标分别是(1,1)和(0,-1),请你在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点B、点C的坐标；

(2)请根据你所学过的平移、旋转或

轴

对称等知识,说明图23-5-8中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的.

答案： 解:
(1)
∵点D的坐标为(0,-1),
∴y轴经过点D.
又
∵点A的坐标为(1,1),
∴A点到y轴的距离为1,
∴y轴为过D点且垂直于BC的直线.
又
∵点D的纵坐标为-1,
∴x轴为平行于BC,在点D上方一个单位的直线,
坐标系如答图23-5-1.
∴B(-1,-1)、C(3,-1).
(2)将△ABC向右平移10个单位,再向上平移5个单位,得到△A₁B₁C₁,再作△A₁B₁C₁关于B₁C₁的对称图形△A₂B₂C₂即可.

已知点P是正方形ABCD内的一点,连接PA、PB、PC.
(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置(如图23-5-9甲).
①设AB的长为a,PB的长为b(b＜a),求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图23-5-9甲中阴影部分)的面积；
②若PA= 2,PB= 4,∠APB= 135°,求PC的长.
(2)如图23-5-9乙,若$PA^2 + PC^2 = 2PB^2,$请说明点P必在对角线AC上.

答案： 解$:(1)①S_{阴影}=\frac{\pi}{4}(a^{2}-b^{2}).$
②如答图23-5-2甲,连接PP',证△PBP'为等腰直角三角形.
从而PC=6.
(2)如答图23-5-2乙,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置,
由勾股定理的逆定理证出∠P'CP=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,
即点P在对角线AC上.