《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. (安徽)已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在第一象限内的图象与一次函数 $ y = -x + b $ 的图象如图 22 - 9 所示,则函数 $ y = x^{2} - bx + k - 1 $ 的图象可能为(A)

答案： A　点拨:由题图可设直线和反比例函数图象的交点坐标分别为(1,k)和(k,1)，将(1,k)代入$y=−x+b$，得$k=−1+b$，即$b=k+1$.
∵$y=\frac{k}{x}$的图象在点(1,1)上方，
∴k＞1，
∴b＞2，
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}＞1$，且抛物线不经过原点，可排除选项B，C；在$y=x^{2}-bx+k-1$中，令x=1，得$y=1−b+k−1=−1$，故选A.

2. (宁波)已知二次函数 $ y = ax^{2} - (3a + 1)x + 3(a \neq 0) $,下列说法正确的是(C)
A.点 $ (1,2) $ 在该函数的图象上
B.当 $ a = 1 $ 且 $ -1 \leq x \leq 3 $ 时,$ 0 \leq y \leq 8 $
C.该函数的图象与 $ x $ 轴一定有交点
D.当 $ a \gt 0 $ 时,该函数图象的对称轴一定在直线 $ x = \frac{3}{2} $ 的左侧

答案： C　点拨:二次函数$y=ax^{2}-(3a+1)x+3$，当x=1时，$y=-2a+2$.
∵a≠0，
∴$y=-2a+2≠2$，故点(1,2)不在该函数的图象上，故选项A错误;当a=1时，$y=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$，其对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,−1)，当x=−1时，y=8，
∴当$−1\leq x\leq3$时，$−1\leq y\leq8$，故选项B错误;当y=0时，$ax^{2}-(3a+1)x+3=0$，$\Delta=[-(3a+1)]^{2}-4× a×3=9a^{2}-6a+1=(3a-1)^{2}\geq0$，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确;当a＞0时，该函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-(3a+1)}{2a}=\frac{3a+1}{2a}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2a}＞\frac{3}{2}$，在直线$x=\frac{3}{2}$的右侧，故选项D错误，故选C.

3. (成都)如图 22 - 10,二次函数 $ y = ax^{2} + x - 6 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A(-3,0) $,$ B $ 两点,下列说法正确的是(C)


A.抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $
B.抛物线的顶点坐标为 $ (-\frac{1}{2},-6) $
C.$ A $,$ B $ 两点之间的距离为 $ 5 $
D.当 $ x \lt -1 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大

答案： C　点拨:根据题意，将点A(−3,0)的坐标代入二次函数解析式，得$9a−3−6=0$，解得a=1，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，选项A错误;$y=x^{2}+x-6=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{25}{4}$，
∴抛物线的顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$，选项B错误;$y=x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$，
∵点A的坐标为(−3,0)，
∴点B的坐标为(2,0)，
∴A，B两点之间的距离为3+2=5，选项C正确;当x＜−1时，函数图象在对称轴的左侧，
∵抛物线开口向上，
∴当x＜−1时，y的值随x值的增大而减小，选项D错误，故选C.

4. (天津)如图 22 - 11,要围一个矩形菜园 $ ABCD $,其中一边 $ AD $ 是墙,且 $ AD $ 的长不能超过 $ 26 m $,其余的三边 $ AB $,$ BC $,$ CD $ 用篱笆,且这三边的和为 $ 40 m $。有下列结论：

① $ AB $ 的长可以为 $ 6 m $；② $ AB $ 的长有两个不同的值满足菜园 $ ABCD $ 面积为 $ 192 m^{2} $；③ 菜园 $ ABCD $ 面积的最大值为 $ 200 m^{2} $。
其中,正确结论的个数是(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C　点拨:设AB=xm，则CD=xm，BC=(40−2x)m，
∵BC=AD≤26m，即40−2x≤26，解得x≥7，
∴AB的长不可以为6m，故①错误;$S_{矩形ABCD}=x(40−2x)=-2x^{2}+40x(x\geq7)$，令$-2x^{2}+40x=192$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$，均符合题意，故②正确;函数$y=-2x^{2}+40x$图象的对称轴为直线x=10，
∵−2＜0，
∴当x=10时，菜园ABCD的面积最大，最大面积为10×(40−20)=200(m²)，故③正确.综上，正确结论的个数是2，故选C.

5. (包头)已知二次函数 $ y = -ax^{2} + 2ax + 3(a \gt 0) $,若点 $ P(m,3) $ 在该函数的图象上,且 $ m \neq 0 $,则 $ m $ 的值为 2。

答案： 2　点拨:令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点为(0,3)，
∴点P(m,3)与此交点关于抛物线的对称轴对称.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2×(-a)}=1$，
∴$\frac{m+0}{2}=1$，m=2.

6. (福建)已知抛物线 $ y = ax^{2} - 2ax + b(a \gt 0) $ 经过 $ A(2n + 3,y_{1}) $,$ B(n - 1,y_{2}) $ 两点,若 $ A $,$ B $ 分别位于抛物线对称轴的两侧,且 $ y_{1} \lt y_{2} $,则 $ n $ 的取值范围是 −1＜n＜0。

答案： −1＜n＜0　　点拨:由题可知，抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$.
∵a＞0，
∴抛物线开口向上.若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴的右侧，则$\begin{cases} 2n+3＜1 \\ n-1＞1 \\ 1-(2n+3)＜n-1-1 \end{cases}$，此不等式无解;若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴的左侧，则$\begin{cases} 2n+3＞1 \\ n-1＜1 \\ 1-(n-1)＞2n+3-1 \end{cases}$，解得$−1＜n＜0$，
∴n的取值范围是$−1＜n＜0$.

7. (甘肃)如图 22 - 12① 为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图 22 - 12② 是棚顶的竖直高度 $ y $(单位：$ m $)与距离停车棚支柱 $ AO $ 的水平距离 $ x $(单位：$ m $)近似满足函数关系 $ y = -0.02x^{2} + 0.3x + 1.6 $ 的图象,点 $ B(6,2.68) $ 在图象上。若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长 $ CD = 4 m $,高 $ DE = 1.8 m $ 的矩形,则可判定货车 _ 完全停到车棚内(填“能”或“不能”)。

能

答案： 能　解法一:
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=1.8m.当y=1.8时，$-0.02x^{2}+0.3x+1.6=1.8$，解得$x_{1}=\frac{15-\sqrt{185}}{2}$，$x_{2}=\frac{15+\sqrt{185}}{2}$(舍去).
∵点B的横坐标为6，货车长为4，
∴货车完全停进车棚时与车棚支柱的最大距离为2米.
∵$\frac{15-\sqrt{185}}{2}＜2$，
∴货车能完全停到车棚内.
　解法二:
∵点B的横坐标为6，货车长为4，
∴货车完全停到车棚内时与车棚支柱的最大距离为2米，当x=2时，$y=-0.02×2^{2}+0.3×2+1.6=2.12$.又货车高为1.8米，2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内.