《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2kx+\frac{1}{2}k^{2}-2 = 0 $.
求证：不论 $ k $ 为何值,方程总有两个不相等的实数根.

答案： 证明:$\Delta =4k^{2}-4×(\frac {1}{2}k^{2}-2)=2k^{2}+8$,因为$2k^{2}≥0$,所以$2k^{2}+8＞0$,即$\Delta ＞0$.所以不论 k 为何值,方程总有两个不相等的实数根.

7. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ k $ 的取值范围；
(2)请选择一个 $ k $ 的负整数值,并求出方程的根.

答案： 解:
(1)求$ k $的取值范围；因为方程有两个不相等的实数根,$\therefore (-3)^{2}-4(-k)＞0.$即$4k＞-9$,解得$k＞-\frac {9}{4}.$
(2)请选择一个 $ k $ 的负整数值,并求出方程的根；若 k 是负整数,k 只能为-1 或-2.如果$k=-1$,原方程为$x^{2}-3x+1=0$,解得$x_{1}=\frac {3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac {3-\sqrt{5}}{2}.$如果$k=-2$,原方程为$x^{2}-3x+2=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=2.$

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 2)x^{2}-2ax + a + 1 = 0 $ 没有实数根,求 $ ax + 3 ＞ 0 $ 的解集.(用含 $ a $ 的式子表示)

答案： 解:因为关于x的一元二次方程$(a - 2)x^{2}-2ax + a + 1 = 0$没有实数根,所以$(-2a)^{2}-4(a-2)(a+1)=4a^{2}-4a^{2}+4a+8＜0.$解得$a＜-2$.因为$ax+3＞0$,即$ax＞-3$,所以$x＜-\frac {3}{a}$.所以所求不等式的解集为$x＜-\frac {3}{a}.$

当 $ m $ 的取值在什么范围内时,关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2}-4x + 5 = 0 $ 与 $ x^{2}-4mx + 4m^{2}-3m - 3 = 0 $ 均有实数根？是否存在整数 $ m $,使得方程的根都是整数？若存在,请求出；若不存在,请说明理由.

答案： 解:对于方程$mx^{2}-4x + 5 = 0,b^{2}-4ac=16-20m,$对于方程$x^{2}-4mx + 4m^{2}-3m - 3 = 0,b^{2}-4ac=12m+12.$由题意,可得$\left\{\begin{array}{l} 16-20m≥0,\\ 12m+12≥0,\end{array}\right. $解得$-1≤m≤\frac {4}{5}.$存在整数 m,使得两方程的根都是整数.若 m 为整数,m 应取-1,0.当$m=-1$时,方程$mx^{2}-4x + 5 = 0$变为$x^{2}+4x-5=0$,此时解为$x_{1}=-5,x_{2}=1;$方程$x^{2}-4mx + 4m^{2}-3m - 3 = 0$变为$x^{2}+4x+4=0$,它的解为$x_{1}=x_{2}=-2.$当$m=0$时,方程$mx^{2}-4x + 5 = 0$不是一元二次方程，$\therefore m=0$应舍去,$\therefore m=-1.$