《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

8. 用公式法解下列方程：
(1)$ x^{2}+3x + 1 = 0 $；
(2)$ 2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0 $；
(3)$ 4(x^{2}+1)-6x = 0 $；
(4)$ (x - 2)(3x - 5) = 1 $.

答案： 解:
(1)$x^{2}+3x + 1 = 0$；$\because a=1,b=3,c=1,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=9-4×1×1=5＞0,\therefore x=\frac {-3\pm \sqrt {5}}{2},\therefore x_{1}=\frac {-3+\sqrt {5}}{2},x_{2}=\frac {-3-\sqrt {5}}{2}.$
(2)$2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$；$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×1=0,x=\frac {2\sqrt{2}\pm \sqrt{0}}{2×2}=\frac {\sqrt{2}}{2},\therefore x_{1}=x_{2}=\frac {\sqrt{2}}{2}.$
(3)$4(x^{2}+1)-6x = 0$；整理得$4x^{2}-6x+4=0,\because b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×4×4=36-64=-28＜0$,
∴原方程没有实数根.
(4)$(x - 2)(3x - 5) = 1$；整理得$3x^{2}-11x+9=0,\because b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4×3×9=13,\therefore x=\frac {11\pm \sqrt{13}}{2×3}=\frac {11\pm \sqrt{13}}{6},\therefore x_{1}=\frac {11+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac {11-\sqrt{13}}{6}.$

1. 下列说法中不正确的是(A)
A.方程 $ 5x^{2}= x $ 只有一个实数根
B.方程 $ x^{2}-8 = 0 $ 有两个不相等的实数根
C.方程 $ 2x^{2}-3x + 2 = 0 $ 没有实数根
D.当 $ k ＞ \frac{2}{3} $ 且 $ k \neq 1 $ 时,方程 $ (k - 1)x^{2}+2x - 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根

答案： A

2. 方程 $ x^{2}+4x = 2 $ 的正根为($-2+\sqrt{6}$)
A.$ x = 2 - \sqrt{6} $
B.$ x = 2 + \sqrt{6} $
C.$ x = -2 - \sqrt{6} $
D.$ x = -2 + \sqrt{6} $

答案： D 点拨:将方程$x^{2}+4x=2$变为一般形式,得$x^{2}+4x-2=0,\therefore a=1,b=4,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=4^{2}-4×1×(-2)=24＞0,\therefore x=\frac {-4\pm \sqrt{24}}{2×1},\therefore x_{1}=-2+\sqrt{6},x_{2}=-2-\sqrt{6}$,故正根为$x=-2+\sqrt{6}.$

3. 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}+4x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围是$m＜4$且$m≠0$.

答案： $m＜4$且$m≠0$

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+x + m^{2}+2m - 3 = 0 $ 有一个根为 $ 0 $,则 $ m $ 的值是-3.

答案： -3

5. 用公式法解下列方程：
(1)$ x^{2}-3x - 1 = 0 $；
(2)$ 3x^{2}= 5x + 2 $；
(3)$ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $；
(4)$ 4x^{2}-3x + 1 = 0 $.

答案： 解:
(1)$x^{2}-3x - 1 = 0$；因为$a=1,b=-3,c=-1$,所以$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-1)=13$,所以$x_{1}=\frac {3+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac {3-\sqrt{13}}{2}.$
(2)$3x^{2}= 5x + 2$；整理,得$3x^{2}-5x-2=0$.因为$a=3,b=-5,c=-2,b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×3×(-2)=49$,所以$x_{1}=\frac {5+7}{6}=2,x_{2}=\frac {5-7}{6}=-\frac {1}{3}.$
(3)$2x^{2}-4x - 1 = 0$；因为$a=2,b=-4,c=-1$,所以$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-1)=24＞0.x=\frac {-(-4)\pm \sqrt{24}}{2×2}=\frac {4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\frac {2\pm \sqrt{6}}{2}$,所以$x_{1}=\frac {2+\sqrt{6}}{2},x_{2}=\frac {2-\sqrt{6}}{2}.$
(4)$4x^{2}-3x + 1 = 0$；因为$a=4,b=-3,c=1$,所以$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×4×1=-7＜0$,所以方程无实数根.