《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

5. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx + c的部分图象如图22 - 7 - 6$所示,对称轴为直线$x= 1$,抛物线与$x轴的交点P的坐标是(3.5,0)$,则关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$的两个实数根为$x_{1}=-1.5,x_{2}=3.5$.

答案： $x_{1}=-1.5,x_{2}=3.5$

6. 已知二次函数$y= kx^{2}-7x - 7的图象与x$轴有两个交点,则$k$的取值范围为$k＞-\frac{7}{4}$且$k\neq0$.

答案： $k＞-\frac{7}{4}$且$k\neq0$　点拨:
∵此函数为二次函数,
∴$k\neq0$.又
∵该二次函数的图象与$x$轴有两个交点,
∴$b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4× k×(-7)=49 + 28k＞0$,解得$k＞-\frac{7}{4}$且$k\neq0$.

7. 已知二次函数$y= (m - 1)x^{2}+(m - 2)x - 1$($m$为实数).
(1)当$m$为何值时,函数图象与$x$轴有两个交点？
(2)若抛物线与$x轴交于A$、$B$两点,与$y轴交于C$点,且$S_{\triangle ABC}= 2$,试确定$m$的值.

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y=(m - 1)x^{2}+(m - 2)x - 1$与$x$轴有两个交点,
∴$\Delta=(m - 2)^{2}-4(m - 1)×(-1)＞0$且$m - 1\neq0$,
可知当$m\neq0$时,$\Delta=m^{2}＞0$,因此当$m\neq0$且$m\neq1$时，
抛物线与$x$轴有两个交点.
(2)设$A、B$两点的坐标分别为$(x_{1},0),(x_{2},0)$.
∵抛物线与$y$轴交于点$C$,
∴点$C$的坐标为$(0,-1)$,
∴$AB=|x_{2}-x_{1}|$,$OC = 1$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=2$,
∴$\frac{1}{2}\cdot|x_{2}-x_{1}|=2$,即有$|x_{2}-x_{1}|=4$.由根与系数的关系,得
$|x_{2}-x_{1}|^{2}=(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}$
$=\left(-\frac{m - 2}{m - 1}\right)^{2}-4×\frac{-1}{m - 1}$
$=\frac{m^{2}}{(m - 1)^{2}}$,
∴$\frac{m^{2}}{(m - 1)^{2}}=16$,解得$m_{1}=\frac{4}{5},m_{2}=\frac{4}{3}$.

如图$22 - 7 - 7$,直线$y_{1}= kx + 2与x轴交于点A(m,0)(m＞4)$,与$y轴交于点B$,抛物线$y_{2}= ax^{2}-4ax + c(a＜0)经过A$,$B$两点.$P为线段AB$上一点,过点$P作PQ// y轴交抛物线于点Q$.
(1)当$m = 5$时：
①求抛物线的表达式；
②设点$P的横坐标为x$,用含$x的代数式表示PQ$的长,并求当$x$为何值时,$PQ= \frac{8}{5}$；
(2)若$PQ长的最大值为16$,试讨论关于$x的一元二次方程ax^{2}-4ax - kx = h的解的个数与h$的取值范围的关系.

答案： 解:
(1)①
∵$m = 5$,
∴点$A$的坐标为$(5,0)$,把$A(5,0)$代入$y_{1}=kx + 2$得$5k + 2 = 0$,
解得$k=-\frac{2}{5}$,
∴直线表达式为$y_{1}=-\frac{2}{5}x + 2$.
当$x = 0$时,$y_{1}=2$,
∴点$B$的坐标为$(0,2)$.
将$A(5,0),B(0,2)$代入$y_{2}=ax^{2}-4ax + c$,
得$\begin{cases} 25a - 20a + c = 0,\\ c = 2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -\frac{2}{5},\\ c = 2.\\ \end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x + 2$.
②设点$P$的坐标为$(x,-\frac{2}{5}x + 2)$,则$Q(x,-\frac{2}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x + 2)$,
∴$PQ=-\frac{2}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x + 2-(-\frac{2}{5}x + 2)=-\frac{2}{5}x^{2}+2x$,当$PQ=\frac{8}{5}$,
即$-\frac{2}{5}x^{2}+2x=\frac{8}{5}$,
解得$x_{1}=1,x_{2}=4$,
∴当$x = 1$或$x = 4$时,$PQ=\frac{8}{5}$.
(2)设$P(x,kx + 2)$,则$Q(x,ax^{2}-4ax + 2)$,$PQ$的长用$l$表示,
∴$l=ax^{2}-4ax + 2-(kx + 2)=ax^{2}-(4a + k)x$.
$PQ$长的最大值为16,
当$h = 16$时,一元二次方程$ax^{2}-4ax - kx=h$有两个相等的实数解;
当$h＞16$时,一元二次方程$ax^{2}-4ax - kx=h$没有实数解;
当$0＜h＜16$时,一元二次方程$ax^{2}-4ax - kx=h$有两个实数解.