《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

6. 若 $ y = (a - 4)x^{a^{2} - 3a - 2} + a $ 是二次函数.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求函数的关系式；
(3)请画出函数的图象,结合图象说一说图象有哪些性质.

答案：
解:
(1)由题意，得$\begin{cases}a^2 - 3a - 2 = 2\\a - 4 ≠ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4或a = -1\\a ≠ 4\end{cases}$，
∴a = -1.
(2)把a = -1代入得函数关系式为y = -5x² - 1.
(3)列表:
　x … -1 -$\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 1 …
　y … -6 -$\frac{9}{4}$ -1 -$\frac{9}{4}$ -6 …
　如答图22 - 3 - 1，它的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0， -1)，有最大值 -1.
　当x＜0时，y随x的增大而增大，
　当x＞0时，y随x的增大而减小.
　　　　　　
　　　　　　答图22 - 3 - 1

已知抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $(如图 22 - 3 - 5).
(1)抛物线的顶点坐标是(______,______),对称轴是______；
(2)已知 $ y $ 轴上一点 $ A(0,2) $,点 $ P $ 在抛物线上,过点 $ P $ 作 $ PB \perp x $ 轴,垂足为 $ B $.若 $ \triangle PAB $ 是等边三角形,求点 $ P $ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,点 $ M $ 在直线 $ AP $ 上.在平面内是否存在点 $ N $,使四边形 $ OAMN $ 为菱形？若存在,直接写出所有满足条件的点 $ N $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：

(1)(0,1)　y轴(或x = 0)
(2)如答图22 - 3 - 2①，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO = 90° - 60° = 30°.
∴AB = 2OA = 4，
∴PB = 4.
　把y = 4代入y = $\frac{1}{4}$x² + 1，得x = ±2$\sqrt{3}$，
∴P₁(2$\sqrt{3}$,4)，P₂(-2$\sqrt{3}$,4).
　　　　
　　　　　　答图22 - 3 - 2
(3)
∵点A的坐标为(0,2)，点P的坐标为(2$\sqrt{3}$,4)，
∴设线段AP所在直线的解析式为y = kx + b.
∴$\begin{cases}b = 2\\2\sqrt{3}k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{\sqrt{3}}{3}\\b = 2\end{cases}$，
∴y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 2.
设存在点N使得四边形OAMN是菱形.
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为(m,$\frac{\sqrt{3}}{3}$m + 2).
如答图22 - 3 - 2②，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ = m，
AQ = OQ - OA = $\frac{\sqrt{3}}{3}$m + 2 - 2 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$m.
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM = AO = 2.
∵在直角三角形AMQ中，AQ² + MQ² = AM²，
即($\frac{\sqrt{3}}{3}$m)² + m² = 2²，解得m = ±$\sqrt{3}$.
代入直线AP的解析式可得M点坐标为($\sqrt{3}$,3)或(-$\sqrt{3}$,1)，
同理可得当点P坐标为(-2$\sqrt{3}$,4)时，M点的坐标为(-$\sqrt{3}$,3)或($\sqrt{3}$,1).
∴存在N₁($\sqrt{3}$,1)，N₂(-$\sqrt{3}$,-1)，N₃(-$\sqrt{3}$,1)，N₄($\sqrt{3}$,-1)使得四边形OAMN是菱形.

1. 把抛物线 $ y = x ^ { 2 } $ 向右平移 $ 1 $ 个单位,所得抛物线的函数解析式为(D)
A.$ y = x ^ { 2 } + 1 $
B.$ y = ( x + 1 ) ^ { 2 } $
C.$ y = x ^ { 2 } - 1 $
D.$ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } $

答案： D

2. 抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } ( x - 3 ) ^ { 2 } $ 的顶点坐标为(B)
A.$ ( 0, 0 ) $
B.$ ( 3, 0 ) $
C.$ ( - 3, 0 ) $
D.$ \left( - 3, \frac { 1 } { 2 } \right) $

答案： B