《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. (山东)方程 $x^{2}-2x - 24 = 0$ 的解是(B)
A.$x_{1}= 6$,$x_{2}= 4$
B.$x_{1}= 6$,$x_{2}= -4$
C.$x_{1}= -6$,$x_{2}= 4$
D.$x_{1}= -6$,$x_{2}= -4$

答案： B 点拨:本题考查解一元二次方程.由x²-2x-24=0,得(x-6)(x+4)=0,解得x₁=6,x₂=-4,故选B.

2. (北京)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x + m = 0$ 有两个相等的实数根,则实数 $m$ 的值为(C)
A.$-9$
B.$-\frac{9}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$9$

答案： C 点拨:Δ=(-3)²-4×1×m=9-4m=0,得m=9/4,故选C.

3. (呼和浩特)已知 $\alpha$、$\beta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m + 3)x + m^{2}= 0$ 的两个不相等的实数根,且满足 $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-1$,则 $m$ 的值是(A)
A.$3$
B.$1$
C.$3$ 或 $-1$
D.$-3$ 或 $1$

答案： A 点拨:由α、β是方程的两个不相等的实数根,得α+β=-(2m+3),αβ=m²,所以1/α + 1/β=(β+α)/αβ=-(2m+3)/m²=-1,解得m₁=3,m₂=-1.因为原方程有两个不相等的实数根,所以b²-4ac=(2m+3)²-4m²=12m+9＞0,所以m=-1不符合题意,舍去.故选A.

4. (武汉)若 $x_{1}$,$x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x + 2 = 0$ 的两根,则 $x_{1}+x_{2}$ 的值是(C)
A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$1$

答案： C 点拨:由x₁,x₂是x²-3x+2=0的两根,得x₁+x₂=3.

5. (河南)定义运算 $m☆n = mn^{2}-mn - 1$。例如：$4☆2 = 4×2^{2}-4×2 - 1 = 7$。则方程 $1☆x = 0$ 的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： A

6. (广东)若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2x + c = 0$ 有两个相等的实数根,则 $c = $1。

答案： 1 点拨:
∵方程x²+2x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即2²-4c=0,解得c=1.

7. (衡阳)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 20 = 0$ 的一个根是 $-4$,则它的另一个根是5。

答案： 5 点拨:设一元二次方程x²+mx-20=0的两个根为x₁,x₂,则x₁x₂=-20.又x₁=-4,则-4x₂=-20,解得x₂=5.

8. (重庆)为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了 $301$ 个充电桩,第三个月新建了 $500$ 个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 $x$,根据题意,请列出方程301(1+x)²=500。

答案： 301(1+x)²=500

9. (黄冈、孝感、咸宁)已知一元二次方程 $x^{2}-3x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}\cdot x_{2}$,若 $x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}= 1$,则实数 $k = $-5。

答案： -5 点拨:由题知,Δ=9-4k≥0,解得k≤9/4.
∵x₁+x₂=3,x₁x₂=k.又
∵x₁x₂+2x₁+2x₂=1,
∴x₁x₂+2(x₁+x₂)=1,
∴k+2×3=1,解得k=-5,满足k≤9/4,
∴k=-5.

10. (青海)为丰富学生课余生活,提高学生运算能力,数学小组设计了如下的解题接力游戏：
(1)解不等式组：$\begin{cases}2x - 1\lt 7,①\\x + 1\gt 2;②\end{cases} $
(2)当 $m$ 取(1)的一个整数解时,解方程 $x^{2}-2x - m = 0$。

答案：
(1){2x-1＜7,① x+1＞2;②解不等式①,得x＜4,解不等式②,得x＞1,
∴不等式组的解集为1＜x＜4.
(2)
∵m是
(1)的一个整数解,
∴m=2或m=3,当m=2时,x²-2x-m=0可化为x²-2x-2=0,
∴x²-2x+1=2+1,
∴(x-1)²=3,
∴x₁=1+√3,x₂=1-√3;当m=3时,x²-2x-m=0可化为x²-2x-3=0,
∴x²-2x+1=3+1,
∴(x-1)²=4,
∴x₁=3,x₂=-1.

11. (四川南充)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m - 1)x - 3m^{2}+m = 0$。
(1)求证：无论 $m$ 为何值,方程总有实数根；
(2)若 $x_{1}$,$x_{2}$ 是方程的两个实数根,且 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}= -\frac{5}{2}$,求 $m$ 的值。

答案：
(1)证明:
∵Δ=(2m-1)²-4(-3m²+m)=16m²-8m+1=(4m-1)²≥0.
∴无论m为何值,方程总有实数根.
(2)解:由根与系数的关系得x₁+x₂=2m-1,x₁x₂=-3m²+m.
∵x₂/x₁ + x₁/x₂=(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)=((x₁+x₂)²-2x₁x₂)/(x₁x₂)=((x₁+x₂)²)/(x₁x₂)-2.
∴((2m-1)²)/(-3m²+m)-2=-5/2,整理得5m²-7m+2=0,解得m=1或m=2/5.