《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

3. 在平面直角坐标系中,若将抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + 3 $ 先向右平移 $ 3 $ 个单位,再向上平移 $ 2 $ 个单位,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(D)
A.$ (-2,3) $
B.$ (-1,4) $
C.$ (1,4) $
D.$ (4,3) $

答案： D

4. 一跳水运动员从 $ 10 $ 米高跳台上跳下,他的高度 $ h $(米)与所用时间 $ t $(秒)的关系为 $ h = -5(t - 2)(t + 1) $,则他跳起 0.5秒达到最大高度,最大高度是 11.25米。

答案： 0.5　11.25

5. 如图 $ 22 - 6 - 2 $,已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 的图象经过 $ A(2,0) $,$ B(0,-6) $ 两点。
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 设该二次函数的对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ C $,连接 $ BA $、$ BC $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。
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答案： 解:
(1)把$A(2,0),B(0,-6)$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$得$\begin{cases}-2 + 2b + c = 0\\c = -6\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 4\\c = -6\end{cases}$
∴$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x-6.$
(2)
∵该抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{4}{2×(-\frac{1}{2})}=4$
∴点C的坐标为$(4,0).$
∴$AC = OC - OA = 4 - 2 = 2.$
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×AC×OB=\frac{1}{2}×2×6=6.$

已知在 $ Rt\triangle OAB $ 中,$ \angle OAB = 90^{\circ} $,$ \angle BOA = 30^{\circ} $,$ AB = 2 $,若以 $ O $ 为坐标原点,$ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴,建立如图 $ 22 - 6 - 3 $ 所示的平面直角坐标系,点 $ B $ 在第一象限内,将 $ Rt\triangle OAB $ 沿 $ OB $ 折叠后,点 $ A $ 落在第一象限内的点 $ C $ 处。
(1) 求点 $ C $ 的坐标；
(2) 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx(a \neq 0) $ 经过 $ C $、$ A $ 两点,求此抛物线的解析式；
(3) 若抛物线的对称轴与 $ OB $ 交于点 $ D $,点 $ P $ 为线段 $ DB $ 上一点,过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线,交抛物线于点 $ M $。问是否存在这样的点 $ P $,使四边形 $ CDPM $ 为等腰梯形？若存在,请求出此时点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
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答案： 解:
(1)如答图,过点C作$CH⊥x$轴，垂足为H.
∵在$Rt\triangle OAB$中,$∠OAB = 90^{\circ},∠BOA = 30^{\circ},AB = 2$
∴$OB = 4,OA = 2\sqrt{3}$由折叠知,$∠COB = 30^{\circ},OC = OA = 2\sqrt{3}$
∴$∠COH = 60^{\circ},OH = \sqrt{3},CH = 3.$
∴C点的坐标为$(\sqrt{3},3).(2)∵抛物线$y = ax^{2}+bx(a≠0)$经过$C(\sqrt{3},3)$、$A(2\sqrt{3},0)$两点∴$\begin{cases}3 = (\sqrt{3})^{2}a + \sqrt{3}b\\0 = (2\sqrt{3})^{2}a + 2\sqrt{3}b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$∴此抛物线的解析式为$y = -x^{2}+2\sqrt{3}x.
(3)存在.$y = -x^{2}+2\sqrt{3}x$的顶点坐标为$(\sqrt{3},3)$,即为点C.如答图,$MP⊥x$轴，设垂足为N,$PN = t.$
∵$∠BOA = 30^{\circ}$
∴$ON = \sqrt{3}t.$
∴$P(\sqrt{3}t,t).$作$PQ⊥CD$,垂足为Q,$ME⊥CD$,垂足为E;把$x = \sqrt{3}t$代入$y = -x^{2}+2\sqrt{3}x$得$y = -3t^{2}+6t.$
∴$M(\sqrt{3}t,-3t^{2}+6t),E(\sqrt{3},-3t^{2}+6t).$同理:$Q(\sqrt{3},t),D(\sqrt{3},1).$要使四边形CDPM为等腰梯形，只需$CE = QD$,即$3 - (-3t^{2}+6t)=t - 1$，解得$t_1 = \frac{4}{3},t_2 = 1$(舍去).
∴P点坐标为$(\frac{4}{3}\sqrt{3},\frac{4}{3}).$
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为$(\frac{4}{3}\sqrt{3},\frac{4}{3}).$