《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

1. 如图 24-8-1 所示,$\odot O$的半径为 2,直线$PA$,$PB为\odot O$的切线,$A$,$B$为切点,若$PA\perp PB$,则$OP$的长为(C)

A.$4\sqrt{2}$

B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.2
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答案： C　点拨:连接OA,OB，所以可得四边形OBPA是正方形,所以OA=PA=2,由勾股定理可知OP的长为$2\sqrt{2}$.

2. 如图 24-8-2,点$O是\triangle ABC$的内切圆的圆心,若$\angle BAC = 80^{\circ}$,则$\angle BOC$等于(A)


A.$130^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： A　点拨:三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点.

3. 下列说法正确的有(C)
①任意一个三角形都有且只有一个内切圆；
②三角形的内心都在三角形的内部；
③三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；
④三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

4. 如图 24-8-3 所示,$\odot O$是边长为 2 的等边三角形$ABC$的内切圆,则$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
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答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

5. 一根钢管放在 V 形架内,如图 24-8-4 是其截面图,$O$为钢管的圆心. 如果钢管的半径为 25 cm,$\angle MPN = 60^{\circ}$,则$OP = $50cm.

答案： 50cm　点拨:连接ON,则ON⊥PN.利用切线长定理，得出∠OPN=30°,再利用直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系得出OP的长.

6. 如图 24-8-5,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$A$,$B$为切点,$\angle OAB = 38^{\circ}$,则$\angle P = $76$^{\circ}$.

答案： 76　点拨:
∵PA,PB是$\odot O$的切线，
∴PA=PB,PA⊥OA,
∴∠PAB=∠PBA,∠OAP=90°,
∴∠PBA=∠PAB=90°−∠OAB=90°−38°=52°,
∴∠P=180°−52°−52°=76°.

7. 如图 24-8-6,$PA$,$PB是\odot O$的两条切线,$A$,$B$为切点,如果$OP = 4$,$PA = 2\sqrt{3}$,求$\angle AOB$的度数.
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答案： 解:
∵PA,PB是$\odot O$的切线，切点为A,B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,∠APO=∠BPO,
∴∠AOP=∠BOP.在Rt△PAO中,由勾股定理，得$OA^{2}=OP^{2}-PA^{2}=4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}=4$,
∴OA=2,又
∵OP=4,
∴OA=$\frac{1}{2}$OP,
∴∠APO=30°,
∴∠AOP=60°,
∴∠AOB=2∠AOP=120°.

8. 如图 24-8-7,$AB为\odot O$的直径,$C为\odot O$上一点,$D为\overset{\frown}{BC}$的中点,过点$D作直线AC$的垂线,垂足为$E$,连接$OD$.
(1)求证：$\angle A = \angle DOB$；
(2)$DE与\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由.
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答案：

(1)证明:如答图24−8−1.连接OC,
∵D为$\widehat{BC}$的中点,
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$,
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠A=∠DOB.
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　答图24−8−1
(2)解:DE与$\odot O$相切.理由:
∵∠A=∠DOB,
∴AE//OD.
∵DE⊥AE,
∴OD⊥DE,
∴DE与$\odot O$相切.