《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

8. 已知函数 $ y = ax^{a^{2} + a} $。
(1)$ a $ 取何值时,此函数为二次函数？并求出解析式。
(2)$ a $ 取何值时,函数图象是开口向上的抛物线？
(3)$ a $ 取何值时,函数有最大值？并求出最大值。

答案： 解:
(1)使函数y = ax$^{a^{2}+a}$为二次函数，需满足$\begin{cases}a^{2}+a = 2 \\ a \neq 0 \end{cases}$，解得a1 = - 2，a2 = 1。此时函数解析式为y = - 2x²或y = x²。
(2)当a = 1时，抛物线y = x²的开口向上。
(3)当抛物线开口向下时，有最大值，此时a = - 2，当x = 0时，y最大 = 0。
点拨:通过二次函数的定义求出二次函数的解析式，然后根据y = ax²(a≠0)的性质作出函数图象，通过图象直观地观察何时取得最值。

如图 $ 22 - 2 - 3 $,直线 $ AB $ 过 $ x $ 轴上的点 $ A(2,0) $,且与抛物线 $ y = ax^{2} $ 相交于 $ B $、$ C $ 两点,$ B $ 点坐标为 $ (1,1) $。
(1)求直线 $ AB $ 和抛物线所表示的函数关系式；
(2)在抛物线上是否存在一点 $ D $,使得 $ S_{\triangle OAD} = S_{\triangle OBC} $？若不存在,请说明理由；若存在,请求出点 $ D $ 的坐标。
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答案：
解:
(1)设直线关系式为y = kx + b。
∵A(2,0)，B(1,1)都在直线y = kx + b的图象上，
∴$\begin{cases}0 = 2k + b \\ 1 = k + b \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1 \\ b = 2 \end{cases}$。
∴直线AB的关系式为y = - x + 2。
∵点B(1,1)在y = ax²的图象上，
∴a = 1，其关系式为y = x²。
(2)如答图22−2−2，存在点D，设D(x,x²)。

则S△OAD = $\frac{1}{2}$|OA|·|yD| = $\frac{1}{2}$×2·x² = x²。
由题意，得$\begin{cases}y = - x + 2 \\ y = x² \end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = 1 \\ y_1 = 1 \end{cases}$或$\begin{cases}x_2 = - 2 \\ y_2 = 4 \end{cases}$
∴C( - 2,4)。
∴S△BOC = S△AOC - S△OAB = $\frac{1}{2}$×2×4 - $\frac{1}{2}$×2×1 = 3。
∵S△BOC = S△OAD，
∴x² = 3，解得x = ±$\sqrt{3}$
∴点D坐标为( - $\sqrt{3}$,3)或($\sqrt{3}$,3)。

1. 抛物线 $ y = 4x^{2} - 3 $ 的顶点坐标是(D)
A.$ (3,0) $
B.$ (-3,0) $
C.$ (0,3) $
D.$ (0,-3) $

答案： D

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + c $ 的图象如图 22 - 3 - 1 所示,下列判断错误的是(D)


A.$ a ＞ 0 $
B.$ c ＜ 0 $
C.函数有最小值
D.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

答案： D　点拨:由图象开口向上，可知a＞0，函数有最小值;又
∵顶点在y轴的负半轴上，
∴c＜0;
∵当x＞0时,y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴D 错误.

3. 抛物线 $ y = x^{2} - 4 $ 的对称轴是(C)
A.直线 $ x = 1 $
B.直线 $ x = - 1 $
C.直线 $ x = 0 $
D.直线 $ x = - 2 $

答案： C

4. 抛物线 $ y = 2x^{2} - 3 $ 的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,−3).当 $ x = \sqrt{2} $ 时,$ y = $1；当 $ y = 5 $ 时,$ x = $±2.

答案： 上　y轴　(0,−3)　1　±2

5. 把函数 $ y = x^{2} - 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向上平移 $ 1 $ 个单位可以得到函数y=x²的图象.

答案： y=x²