《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

5. 如图 24-10-11,有一个$\odot O和两个正六边形T_1$,$T_2$。$T_1$的 6 个顶点都在圆周上,$T_2$的 6 条边都和$\odot O$相切(我们称$T_1$,$T_2分别为\odot O$的内接正六边形和外切正六边形)。
(1)设$T_1$,$T_2的边长分别为a$,$b$,$\odot O的半径为r$,求$r:a及r:b$的值；
(2)求正六边形$T_1$,$T_2的面积比S_1:S_2$的值。

答案： 解:
(1)连接圆心$O$和$T_{1}$的六个顶点可得六个全等的正三角形,所以$r:a=1:1$;连接圆心$O$和$T_{2}$的相邻两个顶点,可得以$\odot O$的半径为高的正三角形,所以$r:b=\sqrt{3}:2$.
(2)$T_{1}$与$T_{2}$的边长比是$\sqrt{3}:2$,$\therefore S_{1}:S_{2}=(a:b)^{2}=3:4$.

某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,进行了如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形。
乙同学：我发现边数是 6 时,它也不一定是正多边形,如图 24-10-12①所示,$\triangle ABC$是正三角形,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BE}= \overset{\frown}{CF}$,可以证明六边形$ADBECF$各内角相等,但它不是正六边形。
丙同学：我能证明边数是 5 时,它是正多边形,我想边数是 7 时它可能也是正多边形。
(1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等；
(2)请你证明各内角相等的圆内接七边形$ABCDEFG$(如图 24-10-12②)是正七边形；(不必写已知、求证)
(3)根据以上探索过程,提出你的猜想。(不必证明)

答案：
(1)证明:由题中图①知,$\angle AFC$所对的弧为$\overset{\frown}{ABC}$,因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$,而$\angle DAF$所对的弧$\overset{\frown}{DEF}=\overset{\frown}{DBC}+\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DBC}=\overset{\frown}{ABC}$,所以$\angle AFC=\angle DAF$,同理可证$\angle ADB=\angle DBE=\angle BEC=\angle ECF=\angle AFC$.所以六边形$ADBECF$的各内角相等.
(2)证明:因为$\angle A$所对的弧为$\overset{\frown}{BEG}$,$\angle B$所对的弧为$\overset{\frown}{CEA}$,$\angle A=\angle B$,所以$\overset{\frown}{BEG}=\overset{\frown}{CEA}$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AG}$.同理可证$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FG}$,即$AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA$,所以七边形$ABCDEFG$是正七边形.
(3)猜想:当边数是奇数时(即当边数是3,5,7,9,$\cdots$时),各角相等的圆内接多边形是正多边形.