《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

9. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+x - m = 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y= x^{2}+x - m的部分图象如图22 - 7 - 3$所示,求一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$的解.

答案： 解:
(1)
∵一元二次方程$x^{2}+x - m=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$,即$1 + 4m＞0$,
∴$m＞-\frac{1}{4}$.
(2)二次函数$y=x^{2}+x - m$图象的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$,
∴抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，由图可知抛物线与$x$轴的一个交点为$(1,0)$,
∴另一个交点为$(-2,0)$,
∴一元二次方程$x^{2}+x - m=0$的解为$x_{1}=1,x_{2}=-2$.

10. 画出函数$y= x^{2}-4x - 3$的图象,根据图象回答下列问题：
(1)图象与$x$轴的交点坐标是什么？
(2)方程$x^{2}-4x - 3 = 0$的解是什么？
(3)不等式$x^{2}-4x - 3＞0$,$x^{2}-4x - 3＜0$的解集分别是什么？

答案： 解:图象如答图22−7−1:
(1)
∵$x_{1}\approx4.65,x_{2}\approx - 0.65$,
∴抛物线与$x$轴的交点坐标为$(4.65,0),(-0.65,0)$.
(2)$x_{1}\approx4.65,x_{2}\approx - 0.65$.
(3)不等式$x^{2}-4x - 3＞0$的解集为$x＜ - 0.65$或$x＞4.65$;不等式$x^{2}-4x - 3＜0$的解集为$-0.65＜x＜4.65$.

1. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0的两个根为x_{1}= -2$,$x_{2}= 4$,则二次函数$y= ax^{2}+bx + c$的图象的对称轴为(C)
A.直线$x= -3$
B.直线$x= 3$
C.直线$x= 1$
D.直线$x= -1$

答案： C

2. 如图$22 - 7 - 4$,以$(1,-4)为顶点的二次函数y= ax^{2}+bx + c的图象与x轴负半轴交于A$点,则一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的正数解的范围是(C)
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$

答案： C

3. 已知$m＞n＞0$,若关于$x的方程x^{2}+2x - 3 - m = 0的解为x_{1}$,$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于$x的方程x^{2}+2x - 3 - n = 0的解为x_{3}$,$x_{4}(x_{3}＜x_{4})$.则下列结论正确的是(B)
A.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D.$x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$

答案： B　点拨:关于$x$的方程$x^{2}+2x - 3 - m=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x - 3$与直线$y=m$的交点的横坐标，关于$x$的方程$x^{2}+2x - 3 - n=0$的解为抛物线$y=x^{2}+2x - 3$与直线$y=n$的交点的横坐标，如答图22−7−2,由图可知,$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$,故选B.

4. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx + c(a\neq0)的部分图象如图22 - 7 - 5$所示,图象经过点$(0,2)$,其对称轴为直线$x= -1$.下列结论：①$3a + c＞0$；②若点$(-4,y_{1})$,$(3,y_{2})$均在二次函数图象上,则$y_{1}＞y_{2}$；③关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c= -1$有两个相等的实数根；④满足$ax^{2}+bx + c＞2的x的取值范围为-2＜x＜0$.其中正确结论的个数为(B)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： B　点拨:
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
∴$-\frac{b}{2a}=-1$,
∴$b = 2a$,
∵当$x = 1$时,$y=a + b + c＜0$,
∴$3a + c＜0$,故①错误;
∵抛物线开口向下,
∴在对称轴的右侧,$y$随$x$的增大而减小,
∵$(-4,y_{1})$关于直线$x=-1$对称的点为$(2,y_{1})$,$2＜3$,
∴$y_{1}＞y_{2}$,故②正确;关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c=-1$的解可看作抛物线$y=ax^{2}+bx + c$与直线$y=-1$的交点的横坐标，由图象可知抛物线$y=ax^{2}+bx + c$与直线$y=-1$有两个交点,
∴关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c=-1$有两个不相等的实数根，故③错误;不等式$ax^{2}+bx + c＞2$的解集可看作抛物线$y=ax^{2}+bx + c$在直线$y=2$上方部分的点的横坐标组成的集合,
∵抛物线经过点$(0,2)$,$(0,2)$关于直线$x=-1$对称的点为$(-2,2)$,
∴$x$的取值范围为$-2＜x＜0$,故④正确.故选B.