《2025年三维数字课堂九年级数学上册人教版》

6. 某景区要建一个游乐场(如图22-9-9所示),其中AD,CD分别靠现有墙DM,DN(墙DM长为27米,墙DN足够长),其余用篱笆围成。篱笆DE将游乐场隔成等腰直角三角形CED和长方形ADEB两部分,并在三处各留2米宽的大门。已知篱笆总长为54米。设AB的长为$x$米。
(1)BE的长为60−3x米(用含$x$的代数式表示)；
(2)当AB为多长时,游乐场的面积为320平方米？
(3)直接写出当AB为多少米时,游乐场的面积达到最大,最大值为多少平方米？

答案： 解:
(1)(60−3x)
(2)由题意得x(60−3x)+$\frac{1}{2}x^{2}=320$,
　解得x₁=8,x₂=16.
∵$\begin{cases}x＞2,\\60-3x\leq27,\\60-3x＞2,\end{cases}$解得11≤x＜$\frac{58}{3}$,
∴x=16.
　当AB为16米时，游乐场的面积是320平方米.
(3)设游乐场的面积为y平方米,由题意得y=x(60−3x)+$\frac{1}{2}x^{2}=-\frac{5}{2}x^{2}+60x=-\frac{5}{2}(x-12)^{2}+360$.
∵11≤x＜$\frac{58}{3}$,
∴当x=12时,y有最大值,最大值为360.
∴当AB为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米.

把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)。
(1)如图22-9-10,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。

①要使折成的长方体盒子的底面积为$484cm^{2}$,那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有,说明理由；
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,若折成的长方体盒子的表面积为$550cm^{2}$,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

答案：
解:
(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm,则
　　(40−2x)²=484,即40−2x=±22,
　　解得x₁=31(不合题意，舍去),x₂=9.
∴剪掉的正方形的边长为9cm.
　　②侧面积有最大值.
　　设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm²,
　　则y与x的函数关系式为y=4(40-2x)x,
　　即y=−8(x−10)²+800,
∴x=10时,$y_{最大}=800$.
　　即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800cm².
(2)如答图阴影部分为剪掉部分,
设剪掉的正方形的边长为xcm，
　　　　　　　　　　　　　 则剪掉的矩形长为(20−x)cm.
则2(40−2x)(20−x)+2x(20−x)+2x(40−2x)=550,
解得x₁=-35(不合题意，舍去),x₂=15.
∴剪掉的正方形的边长为15cm.
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm.