《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

5. 如图24.1.3-8,$AB为\odot O$的弦,半径$OE$,$OF分别交AB于点C$,$D$,且$OC = OD$。求证：$\overset{\frown}{AE}= \overset{\frown}{BF}$。

答案： 连接 $OA$，$OB$。
因为$OA = OB$（半径相等），
所以$\angle OAB = \angle OBA$（等腰三角形的性质）。
因为$OC = OD$，
所以$\angle OCD = \angle ODC$（对顶角相等的情况下，由边相等推导角相等）。
因为$\angle OCD = \angle OAB + \angle AOC$，$\angle ODC = \angle OBA + \angle BOF$（三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和），
又因为$\angle OAB = \angle OBA$，
所以$\angle AOC = \angle BOF$。
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因为$\angle AOC$和$\angle BOF$是圆心角且$\angle AOC = \angle BOF$，
所以$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BF}$。

6. 如图24.1.3-9,以$\odot O的直径BC为一边作等边三角形ABC$,$AB$,$AC分别交\odot O于点D$,$E$,求证：$BD = DE = EC$。

答案： 证明：
1. 连接OD，OE。
2.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
3.
∵BC为⊙O直径，
∴OB=OC=OD=OE（半径相等）。
4. 在△OBD中，OB=OD，∠OBD=∠ABC=60°，
∴△OBD为等边三角形，∠BOD=60°，BD=OB。
5. 同理，在△OCE中，OC=OE，∠OCE=∠ACB=60°，
∴△OCE为等边三角形，∠EOC=60°，EC=OC。
6.
∵∠BOC=180°（直径所对圆心角），
∴∠DOE=∠BOC-∠BOD-∠EOC=180°-60°-60°=60°。
7.
∴∠BOD=∠DOE=∠EOC=60°。
8.
∴BD=DE=EC（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）。

【例1】如图24.1.4-1,已知AB,CD是⊙O的两条直径,如果∠ABC= 28°,那么∠BAD= (A)

A.28°
B.42°
C.56°
D.84°

答案： A

【针对训练】
1. 如图24.1.4-2,AB是⊙O的直径,∠AOC= 110°,则∠D= (B)

A.25°
B.35°
C.55°
D.70°

答案： B

【例2】如图$24.1.4-3,⊙O_1$与$⊙O_2$相交于A,B两点,过点A的直线交$⊙O_1$于点C,交$⊙O_2$于点D,过点B的直线交$⊙O_1$于点E,交$⊙O_2$于点F,且CD//EF.

求证：CE= DF.
证明：

答案： 证明：连接AB.
∵CD//EF，
∴∠CAD=∠AEF（两直线平行，同位角相等）.
∵四边形ABFD内接于⊙O₂，
∴∠CAD=∠ABF（圆内接四边形的外角等于内对角）.
∴∠AEF=∠ABF.
∵四边形ABEC内接于⊙O₁，
∴∠ABF=∠ACE（圆内接四边形的外角等于内对角）.
∴∠AEF=∠ACE.
∴CE//DF（内错角相等，两直线平行）.
∵CD//EF，CE//DF，
∴四边形CEFD是平行四边形.
∴CE=DF（平行四边形对边相等）.