《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例 1】用公式法解下列方程：
(1) $4x^{2}+4x - 1 = - 10 - 8x$；
(2) $6x^{2}+6 = 4\sqrt{6}x$.
解：

答案：
(1)移项得$4x^{2}+4x - 1 + 10 + 8x=0$，合并同类项得$4x^{2}+12x + 9=0$，其中$a=4$，$b=12$，$c=9$，$\Delta =12^{2}-4×4×9=144 - 144=0$，$x=\frac{-12\pm\sqrt{0}}{2×4}=-\frac{3}{2}$，所以$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(2)移项得$6x^{2}-4\sqrt{6}x + 6=0$，其中$a=6$，$b=-4\sqrt{6}$，$c=6$，$\Delta=(-4\sqrt{6})^{2}-4×6×6=96 - 144=-48＜0$，所以方程无实数根。

【针对训练】
1. 用公式法解方程：
(1) $x^{2}-2x - 1 = 0$；
(2) $x^{2}-10x + 9 = 0$.

答案：
(1)
对于方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -2$，$c = -1$。
判别式 $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8$。
由求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 可得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
所以 $x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$。
(2)
对于方程 $x^{2}-10x + 9 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -10$，$c = 9$。
判别式 $\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×1×9=100 - 36 = 64$。
由求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 可得：
$x=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{10\pm8}{2}$。
当取 $+$ 号时，$x_{1}=\frac{10 + 8}{2}=9$；
当取 $-$ 号时，$x_{2}=\frac{10 - 8}{2}=1$。
综上，答案依次为：
(1)$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$；
(2)$x_{1}=9$，$x_{2}=1$。

二、一元二次方程根的判别式
【例 2】若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+4x + 2k = 0$ 有两个实数根,求 $k$ 的取值范围及 $k$ 的非负整数值.
解：

答案： 解：
关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4x + 2k = 0$ 有两个实数根，
根据根的判别式，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$
其中，$a = 1, b = 4, c = 2k$。
代入得：
$\Delta = 4^{2} - 4 × 1 × 2k = 16 - 8k \geq 0$
解不等式 $16 - 8k \geq 0$，得：
$k \leq 2$
考虑 $k$ 的非负整数值，得：
$k = 0, 1, 2$

【针对训练】
2. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3x + m = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $m$ 的取值范围是(B)
A.$m＞\frac{9}{4}$
B.$m＜\frac{9}{4}$
C.$m= \frac{9}{4}$
D.$m＜-\frac{9}{4}$

答案： B

1. 方程 $x^{2}+x = 12$ 的根为(D)
A.$4$ 或 $3$
B.$-4$ 或 $-3$
C.$-3$ 或 $4$
D.$-4$ 或 $3$

答案： D

2. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+(1 - k)\cdot x - 1 = 0$,下列说法正确的是(C)
A.当 $k = 0$ 时,方程无解
B.当 $k = 1$ 时,方程有一个实数根
C.当 $k = - 1$ 时,方程有两个相等的实数根
D.当 $k\neq0$ 时,方程总有两个不相等的实数根

答案： C

3. 方程 $2x^{2}+5x - 3 = 0$ 的解是$x_1=\frac{1}{2},x_2 = - 3$.

答案： $x_1=\frac{1}{2},x_2 = - 3$（按照人教版格式要求填写两个根即可）

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx + m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $m = $2.

答案： $2$

5. 若关于 $x$ 的方程 $(a - 6)x^{2}-8x + 6 = 0$ 有实数根,则整数 $a$ 的最大值是8.

答案： 8（题目问最大值填具体数值）