《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【针对训练】
4. 某商品的进价为$50$元每件,售价为$60$元每件,每个月可卖出$200$件,如果每件商品的售价上涨$1$元,则每个月少卖$10$件(每件售价不能高于$72$元),设每件商品的售价上涨$x$元($x$为正整数),每个月的总利润为$y$元。
(1)求$y与x的函数关系式并直接写出自变量x$的取值范围。
(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

答案：
(1)
利润 $y$ 由每件商品的利润和销售数量共同决定。
每件商品的原利润为 $60 - 50 = 10$ 元，售价上涨 $x$ 元后，每件商品的利润变为 $10 + x$ 元。
原销售数量为 $200$ 件，售价上涨 $x$ 元后，销售数量变为 $200 - 10x$ 件。
因此，总利润 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为：
$y = (200 - 10x)(10 + x)$
$y = -10x^2 + 100x + 2000$
由题意，每件商品的售价不能高于 $72$ 元，即 $60 + x \leq 72$，解得 $x \leq 12$。
又因为 $x$ 为正整数，且 $200 - 10x \geq 0$，即 $x \leq 20$，但 $x \leq 12$ 是更严格的限制。
所以自变量 $x$ 的取值范围是 $0 ＜ x \leq 12$，且 $x$ 为正整数。
(2)
利润函数为 $y = -10x^2 + 100x + 2000$，这是一个开口向下的二次函数。
其最大值出现在对称轴上，对称轴的方程为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 × (-10)} = 5$。
将 $x = 5$ 代入利润函数，得到最大利润：
$y = -10 × 5^2 + 100 × 5 + 2000 = 2250$
此时，每件商品的售价为 $60 + 5 = 65$ 元。
故当每件商品的售价定为 $65$ 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 $2250$ 元。