《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

一、轴对称图形和中心对称图形
【例 1】
下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数是(4)
①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆.
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 1. 首先明确轴对称图形和中心对称图形的定义：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2. 然后分析各个图形：
①等边三角形：
是轴对称图形，有$3$条对称轴；但绕着某一点旋转$180^{\circ}$后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形。
②矩形：
是轴对称图形，有$2$条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
③等腰梯形：
是轴对称图形，有$1$条对称轴；绕着某一点旋转$180^{\circ}$后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形。
④菱形：
是轴对称图形，有$2$条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
⑤正八边形：
是轴对称图形，有$8$条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是正八边形的中心。
⑥圆：
是轴对称图形，有无数条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是圆心。
3. 最后统计个数：
既是轴对称图形又是中心对称图形的有②矩形、④菱形、⑤正八边形、⑥圆，共$4$个。
所以答案是C。

【针对训练】
1. 下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)

答案： D

二、中心对称图形性质的应用
【例 2】
如图 23.2.2 - 1,在一平行四边形的菜地中,有一口圆形的水井,现张大爷要在菜地内修一条笔直的小路将菜地面积二等分以种不同蔬菜,且要使水井在小路上,便于对两块地浇水,请你帮助张大爷画出小路修建的位置.

答案：

【针对训练】
2. 如图 23.2.2 - 2,在△ABC 中,AB = 5,AC = 13,BC 边上的中线 AD = 6,求 BC 的长.

答案： 延长AD至点E，使DE=AD=6，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=13。
在△ABE中，AB=5，AE=AD+DE=12，BE=13，
∵5²+12²=13²，
∴△ABE是直角三角形，∠BAE=90°。
在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，∠BAD=90°，
由勾股定理得BD²=AB²+AD²=5²+6²=61，
∴BD=√61。
∵BC=2BD，
∴BC=2√61。
BC的长为2√61。

1. 下列选项是轴对称图形但不是中心对称图形的是(B)
A.线段
B.等边三角形
C.正方形
D.圆

答案： B

2. 在你认识的图形中,写出一个是中心对称图形但不一定是轴对称图形的图形名称平行四边形（答案不唯一，合理即可）.

答案： 平行四边形（答案不唯一，合理即可）

3. 下列几种图形：菱形、等腰梯形、线段、正八边形,从对称性角度分析,其中与另外三种不同的一种图形是等腰梯形.

答案： 等腰梯形

4. 如图 23.2.2 - 3,直线 EF 经过平行四边形 ABCD 的对角线的交点 O,若 AE = 3 cm,四边形 AEFB 的面积为$ 15 cm^2,$则 CF = 3 cm,四边形 CFED 的面积为15 cm².

答案： 3 cm，15 cm²