《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【针对训练】
2. 从边长为20的正方形铁片中间剪去一个边长为 $ x $ 的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积 $ y $ 与 $ x $ 间的函数关系式为$y = -x^2 + 400$。

答案： $y = -x^2 + 400$

1. 下列函数中,不是二次函数的是(D)
A.$ y = 1 - \sqrt{2}x^{2} $
B.$ y = 2(x - 1)^{2} + 4 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $
D.$ y = (x - 2)^{2} - x^{2} $

答案： D

2. 函数 $ y = (m - n)x^{2} + mx + n $ 是二次函数的条件是(B)
A.$ m $,$ n $ 是常数,且 $ m \neq 0 $
B.$ m $,$ n $ 是常数,且 $ m \neq n $
C.$ m $,$ n $ 是常数,且 $ n \neq 0 $
D.$ m $,$ n $ 可以为任意常数

答案： B

3. 为了响应国家解决“看病难、看病贵”的号召,某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为 $ x $,该药品原价为18元,降价后的价格为 $ y $ 元,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为(C)
A.$ y = 36(1 - x) $
B.$ y = 36(1 + x) $
C.$ y = 18(1 - x)^{2} $
D.$ y = 18(1 + x^{2}) $

答案： C

4. 有一菱形花坛,两条对角线长相差 $ 5 \, m $,若长对角线长为 $ x \, m(x ＞ 5) $,则菱形的面积 $ y $ 可表示为$y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } x$。

答案： $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } x$

5. 把函数 $ y = (1 - 2x)(6 - x) $ 化成 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的形式是$y = 2x^{2} - 13x + 6$,其中 $ a = $2,$ b = $-13,$ c = $6。

答案： $y = 2x^{2} - 13x + 6$；$a = 2$；$b = -13$；$c = 6$。

6. 用一根长为 $ 800 \, cm $ 的木条做成一个长方形窗框,若窗框的宽为 $ x \, cm $,写出它的面积 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并判断 $ y $ 是 $ x $ 的二次函数吗？

答案： 答题：
已知窗框的周长为$800cm$，宽为$x cm$，设长为$z cm$。
根据周长公式：
$2x + 2z = 800$，
$2z=800-2x$
$z = 400 - x$。
面积 $y$ 可表示为：
$y = x \cdot z$，
将 $z = 400 - x$ 代入得：
$y = x(400 - x)$，
$y = 400x - x^2$，
即：
$y = -x^2 + 400x$，
$y$ 是 $x$ 的二次函数，形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a = -1$，$b = 400$，$c = 0$。
结论：
函数关系式为 $y = -x^2 + 400x$，$y$ 是 $x$ 的二次函数。

7. 已知函数 $ y = (m^{2} - 1)x^{2} + (m^{2} - 2m - 3)x - m - 1 $。
(1) 当 $ m $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的二次函数？
(2) 当 $ m $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？

答案：
(1)
根据二次函数的定义，二次项系数不能为$0$，在函数$y = (m^{2} - 1)x^{2} + (m^{2} - 2m - 3)x - m - 1$中，二次项系数为$m^{2}-1$，则有：
$m^{2}-1\neq0$
$m^{2}\neq1$
解得$m\neq\pm1$。
所以当$m\neq\pm1$时，$y$是$x$的二次函数。
(2)
根据一次函数的定义，二次项系数为$0$，一次项系数不为$0$。
由$m^{2}-1 = 0$，得$m=\pm1$。
当$m = - 1$时，$m^{2}-2m - 3=(-1)^{2}-2×(-1)-3=1 + 2 - 3=0$，不满足一次项系数不为$0$，舍去。
当$m = 1$时，$m^{2}-2m - 3=1^{2}-2×1 - 3=1-2 - 3=-4\neq0$，满足条件。
所以当$m = 1$时，$y$是$x$的一次函数。