《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 2k - 4 = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $k$ 为正整数,且该方程的根都是整数,求 $k$ 的值.

答案：
(1) 方程 $x^{2}+2x + 2k - 4 = 0$ 有两个不相等的实数根，则判别式 $\Delta＞0$。
$\Delta = 2^{2}-4×1×(2k - 4)=4 - 8k + 16 = 20 - 8k$
由 $\Delta＞0$，即 $20 - 8k＞0$，
解得 $k＜\frac{5}{2}$。
(2) 因为 $k$ 为正整数且 $k＜\frac{5}{2}$，所以 $k = 1$ 或 $k = 2$。
当 $k = 1$ 时，方程为 $x^{2}+2x - 2 = 0$，
根据求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 2$，$\Delta=20 - 8k = 12$，
$x=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$，根不是整数，舍去。
当 $k = 2$ 时，方程为 $x^{2}+2x = 0$，因式分解得 $x(x + 2)=0$，
解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=-2$，根是整数，符合题意。
所以 $k = 2$。
综上，答案为：
(1) $k＜\frac{5}{2}$；
(2) $k = 2$。

7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0$.
(1) 求证：无论 $k$ 取何值,方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a = 3$,另两边长 $b$,$c$ 恰好是这个方程的两个根,求 $\triangle ABC$ 的周长.

答案：
(1) 证明：方程为 $x^2-(k+2)x+2k=0$，判别式 $\Delta =[-(k+2)]^2-4×1×2k=(k+2)^2-8k=k^2+4k+4-8k=(k-2)^2$。
$\because (k-2)^2\geq0$，即 $\Delta\geq0$，
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值，方程总有实数根。
(2) 解方程 $x^2-(k+2)x+2k=0$，因式分解得 $(x-k)(x-2)=0$，
$\therefore$ 方程的根为 $x_1=k$，$x_2=2$，即 $b=k$，$c=2$（或 $b=2$，$c=k$）。
情况1： 若 $b=c$，则 $k=2$，此时 $b=c=2$。
三角形三边长为 $3$，$2$，$2$。
$\because 2+2＞3$，符合三角形三边关系，
$\therefore$ 周长为 $3+2+2=7$。
情况2： 若 $b=a=3$（或 $c=a=3$），则 $k=3$，此时另一边为 $2$。
三角形三边长为 $3$，$3$，$2$。
$\because 3+2＞3$，符合三角形三边关系，
$\therefore$ 周长为 $3+3+2=8$。
综上，$\triangle ABC$ 的周长为 $7$ 或 $8$。

【例1】用因式分解法解方程：
(1)$x^{2}+5x= 0$； (2)$x^{2}-6x= -9$；
(3)$3x(3x+1)= 6x+2$.
解：

答案：
(1)
$x(x + 5) = 0$，
$x=0$或$x + 5 = 0$，
解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = - 5$；
(2)
$x^{2}-6x + 9 = 0$，
$(x - 3)^{2}=0$，
解得$x_{1} = x_{2} = 3$；
(3)
$3x(3x + 1) - 2(3x + 1) = 0$，
$(3x + 1)(3x - 2)=0$，
$3x+1 = 0$或$3x - 2 = 0$，
解得$x_{1} =-\frac{1}{3}$，$x_{2}=\frac{2}{3}$。

1. 一元二次方程$x^{2}-3x= 0$的根是$x_{1}=0$，$x_{2}=3$.

答案： $x_{1}=0$，$x_{2}=3$

2. 用因式分解法解下列方程：
(1)$5x^{2}= 4x$； (2)$x+1= x(x+1)$；
(3)$(2x-1)^{2}-x^{2}= 0$.

答案：
(1)
解：移项得$5x^{2}-4x = 0$，
提取公因式$x$得$x(5x - 4)=0$，
则$x = 0$或$5x - 4 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{4}{5}$。
(2)
解：移项得$x + 1-x(x + 1)=0$，
提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(1 - x)=0$，
则$x + 1 = 0$或$1 - x = 0$，
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$。
(3)
解：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a = 2x - 1$，$b = x$，
则$(2x - 1)^{2}-x^{2}=(2x - 1 + x)(2x - 1 - x)=0$，
即$(3x - 1)(x - 1)=0$，
则$3x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=1$。

【例2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.请选择你认为适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x+1= 0$； (2)$(x-1)^{2}= 3$；
(3)$(3x-4)^{2}= 9x-12$； (4)$x^{2}-2x= 4$.
解：

答案：
(1) $x^{2}-3x+1=0$
$a=1$，$b=-3$，$c=1$
$\Delta=(-3)^{2}-4×1×1=5＞0$
$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2) $(x-1)^{2}=3$
$x-1=\pm\sqrt{3}$
$x=1\pm\sqrt{3}$
$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$
(3) $(3x-4)^{2}=9x-12$
$(3x-4)^{2}-3(3x-4)=0$
$(3x-4)(3x-4-3)=0$
$3x-4=0$或$3x-7=0$
$x_{1}=\frac{4}{3}$，$x_{2}=\frac{7}{3}$
(4) $x^{2}-2x=4$
$x^{2}-2x+1=5$
$(x-1)^{2}=5$
$x-1=\pm\sqrt{5}$
$x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1-\sqrt{5}$