《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例 1】用直接开平方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-18= 0$；
(2)$4(x-2)^{2}-25= 0$；
(3)$\frac{1}{2}(2y+2)^{2}= 3$.
解：

答案：
(1)移项得$2x^{2}=18$，两边同时除以2得$x^{2}=9$，开平方得$x=\pm 3$，即$x_{1}=3$，$x_{2}=-3$；
(2)移项得$4(x - 2)^{2}=25$，两边同时除以4得$(x - 2)^{2}=\frac{25}{4}$，开平方得$x - 2=\pm\frac{5}{2}$，解得$x_{1}=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，$x_{2}=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$；
(3)两边同时乘以2得$(2y + 2)^{2}=6$，开平方得$2y + 2=\pm\sqrt{6}$，移项得$2y=-2\pm\sqrt{6}$，两边同时除以2得$y=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}=-1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，即$y_{1}=-1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$y_{2}=-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。

【针对训练】
1. 方程$x^{2}-4= 0$的根是(C)

A.$x= 2$
B.$x= -2$
C.$x_{1}= 2,x_{2}= -2$
D.$x= 4$

答案： C

2. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^{2}-36= 0$；
(2)$9x^{2}-25= 0$；
(3)$9(x+1)^{2}= 25$.

答案：
(1)
$x^{2} - 36 = 0$
$x^{2}=36$
$x = \pm \sqrt{36}$
$x = \pm 6$
$x_1 = 6$，$x_2 = -6$
(2)
$9x^{2} - 25 = 0$
$9x^{2}=25$
$x^{2}=\frac{25}{9}$
$x = \pm \sqrt{\frac{25}{9}}$
$x = \pm \frac{5}{3}$
$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3}$
(3)
$9(x + 1)^{2} = 25$
$(x + 1)^{2}=\frac{25}{9}$
$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{25}{9}}$
$x + 1 = \pm \frac{5}{3}$
当$x + 1=\frac{5}{3}$时，$x=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$
当$x + 1 = -\frac{5}{3}$时，$x=-\frac{5}{3}-1=-\frac{8}{3}$
$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2 = -\frac{8}{3}$

【例 2】用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x+4= 0$；
(2)$2x^{2}-x-1= 0$；
(3)$2x^{2}-3x+2= 0$.
解：

答案：
(1) $x^{2}+4x+4=0$
$(x+2)^{2}=0$
$x+2=0$
解得 $x_{1}=x_{2}=-2$
(2) $2x^{2}-x-1=0$
两边同除以2：$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$
移项：$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$
配方：$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{4})^{2}$
$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$
开平方：$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$
解得 $x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$
(3) $2x^{2}-3x+2=0$
两边同除以2：$x^{2}-\frac{3}{2}x+1=0$
移项：$x^{2}-\frac{3}{2}x=-1$
配方：$x^{2}-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=-1+(\frac{3}{4})^{2}$
$(x-\frac{3}{4})^{2}=-\frac{7}{16}$
$\because$ 负数没有平方根
$\therefore$ 原方程无实数根

【针对训练】
3. 用配方法解方程$x^{2}-6x= 3$时,应该把方程的两边同时(C)
A.加 3
B.减 3
C.加 9
D.减 9

答案： C

4. 用配方法解方程：$x^{2}-6x-6= 0$.

答案： $x^{2} - 6x - 6 = 0$，
移项，得：
$x^{2} - 6x = 6$，
为了配方，我们在等式的两边都加上$9$（即一次项系数的一半的平方），得：
$x^{2} - 6x + 9 = 15$，
这样，我们就将方程的左边配成了完全平方的形式，即：
$(x - 3)^{2} = 15$，
接下来，对方程两边同时开平方，得：
$x - 3 = \pm \sqrt{15}$，
最后，解得：
$x_{1} = 3 + \sqrt{15}$，
$x_{2} = 3 - \sqrt{15}$。

1. 用配方法解方程$x^{2}-2x-1= 0$时,配方后所得的方程为(D)
A.$(x+1)^{2}= 0$
B.$(x-1)^{2}= 0$
C.$(x+1)^{2}= 2$
D.$(x-1)^{2}= 2$

答案： D