《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 下列说法正确的是(C)

A.线段绕一个端点旋转形成的图形是圆
B.每一条弦都对着一条弧
C.直径是弦,且圆内最长的弦是直径
D.半圆是弧,弧小于半圆

答案： C

2. 如图24.1.1-5所示,MN为⊙O的弦,∠M= 50°,则∠MON= (D)

A.50°

 

B.55°
C.65°
D.80°

答案： D

3. 如图24.1.1-6,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= 10.若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于(A)

A.5√{3}
B.5
C.5√{2}
D.6

答案： A

4. (1)以已知点O为圆心,可以画无数个圆；
(2)以已知线段a的长为半径,可以画无数个圆.

答案：
(1)无数；
(2)无数

5. 已知AB= 10 cm是⊙O中最长的弦,则⊙O的周长C= 10πcm.(用π表示)

答案： $10\pi$

6. 在⊙O中,半径为5,∠AOB= 60°,如图24.1.1-7所示,则弦AB的长为5.

答案： 5

7. 如图24.1.1-8,AB,AC为⊙O的弦,连接CO,BO并延长分别交弦AB,AC于点E,F,∠B= ∠C.
求证：CE= BF.

答案： 证明：
∵ OB、OC是⊙O的半径，
∴ OB=OC。
在△EOB和△FOC中，
∠B=∠C（已知），
OB=OC（已证），
∠EOB=∠FOC（对顶角相等），
∴ △EOB≌△FOC（ASA）。
∴ OE=OF。
∵ CE=OC+OE，BF=OB+OF，
又
∵ OB=OC，OE=OF，
∴ CE=BF。

一、垂径定理在计算和证明中的应用
【例 1】如图 24.1.2 - 1 所示,M 是 CD 的中点,EM⊥CD,若 CD = 4,EM = 8,则$\overset{\frown}{CED}$所在圆的半径为17/4。

答案： 17/4

【针对训练】
1. 半径为 3 的圆中,一条弦长为 4,则圆心到这条弦的距离是(C)
A.3
B.4
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$

答案： C

二、垂径定理在生活中的应用
【例 2】有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为 7.2 m,拱桥顶部高出水面 2.4 m.现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方体,且高出水面 2 m 的货船要经过这里,货船能否顺利通过这座拱桥？
解：

答案： 1. 首先设圆弧形拱桥所在圆的圆心为$O$，半径为$R$：
过圆心$O$作$OC\perp AB$于$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于$C$，则$AB = 7.2m$，$CD = 2.4m$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7.2 = 3.6m$，$OD=R - 2.4$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，即$R^{2}=3.6^{2}+(R - 2.4)^{2}$。
展开$(R - 2.4)^{2}$得$R^{2}=3.6^{2}+R^{2}-4.8R + 2.4^{2}$。
移项可得：
$R^{2}-R^{2}+4.8R=3.6^{2}+2.4^{2}$。
$4.8R = 12.96 + 5.76$。
$4.8R=18.72$，解得$R = 3.9m$。
2. 然后当货船从桥下经过时：
设货船宽$EF = 3m$，过圆心$O$作$OG\perp EF$于$H$，交$\overset{\frown}{EF}$于$G$，则$EH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×3 = 1.5m$。
在$Rt\triangle EOH$中，根据勾股定理$OH=\sqrt{OE^{2}-EH^{2}}$（因为$OE = R = 3.9m$）。
所以$OH=\sqrt{3.9^{2}-1.5^{2}}=\sqrt{(3.9 + 1.5)(3.9 - 1.5)}=\sqrt{5.4×2.4}=\sqrt{12.96}=3.6m$。
此时$GH=OG - OH$，因为$OG = R = 3.9m$，所以$GH=3.9 - 3.6=0.3m$。
那么此时水面到拱桥顶部的距离为$2.4m$，货船高出水面$2m$，$2.4-(2 - 0.3)=0.7m\gt0$。
所以货船能顺利通过这座拱桥。