《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【针对训练】
1. 在平面直角坐标系中,把抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+1先向上平移3$个单位长度,再向左平移$1$个单位长度,所得抛物线对应的函数解析式是$y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2} + 4$。

答案： $y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2} + 4$

【例2】二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的大致图象如图22 - 2所示,关于该二次函数,下列说法错误的是(D)

A.函数有最小值
B.对称轴是直线$x= \frac{1}{2}$
C.当$x\lt\frac{1}{2}$时,$y随x$的增大而减小
D.当$-1\lt x\lt2$时,$y\gt0$

答案： D

【针对训练】
2. 已知两点$A(-5,y_{1})$,$B(3,y_{2})均在抛物线y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$上,点$C(x_{0},y_{0})$是该抛物线的顶点,若$y_{1}\gt y_{2}\geqslant y_{0}$,则$x_{0}$的取值范围是(B)
A.$x_{0}\gt - 5$
B.$x_{0}\gt - 1$
C.$-5\lt x_{0}\lt - 1$
D.$-2\lt x_{0}\lt3$

答案： B

【例3】关于$x的一元二次方程\frac{1}{2}x^{2}+kx + k-\frac{1}{2}= 0$。
(1)求证：不论$k$为何实数时,此方程总有两个实数根。
(2)设$k\lt0$,当二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}+kx + k-\frac{1}{2}的图象与x轴的两个交点A,B间的距离为4$时,求此二次函数的解析式。

答案：
(1)
对于一元二次方程 $\frac{1}{2}x^{2} + kx + k - \frac{1}{2} = 0$，
其判别式为：
$\Delta = k^{2} - 4 × \frac{1}{2} × (k - \frac{1}{2})$
$= k^{2} - 2k + 1$
$= (k - 1)^{2}$
由于 $(k - 1)^{2} \geq 0$，
所以，不论 $k$ 为何实数，此方程总有两个实数根。
(2)
设方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，由一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -2k$，
$x_1 \cdot x_2 = 2k - 1$，
又因为 $AB$ 间的距离为 4，即 $|x_1 - x_2| = 4$，
所以$(x_1 - x_2)^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2 = 16$，
代入 $x_1 + x_2 = -2k$ 和 $x_1 \cdot x_2 = 2k - 1$，得：
$4k^{2} - 4(2k - 1) = 16$，
$4k^{2} - 8k + 4 = 16$，
$4k^{2} - 8k - 12 = 0$，
$k^{2} - 2k - 3 = 0$，
解得 $k_1 = 3$， $k_2 = -1$，
由于 $k ＜ 0$，所以 $k = -1$。
因此，此二次函数的解析式为 $y = \frac{1}{2}x^{2} - x - \frac{3}{2}$。

【针对训练】
3. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)的图象与坐标轴交于点(-1,0)和(0,-1)$,顶点在第四象限,若$n = a + b + c$,则$n$的取值范围是$-2\lt n\lt0$。

答案： $-2\lt n\lt0$

【例4】某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为$40$元。经过市场调查,一周的销售量$y$(单位：件)与销售单价$x(x\geqslant50)$(单位：元)的关系如下表：
 

若一周销售量$y是销售单价x$的一次函数。
(1)直接写出$y与x$的函数关系式：$y = -10x + 1000$。
(2)设一周的销售利润为$S$元,请求出$S与x$的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
$S = -10x^2 + 1400x - 40000$，当$50 \leqslant x \leqslant 70$时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大。
(3)爱心捐赠,救助失学儿童,商家决定将商品一周的销售利润全部捐给失学儿童,在商家购进该商品的货款不超过$10000$元的情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少？
$8750$元

答案：
(1) 设$y = kx + b$，
代入点$(55,450)$和$(60,400)$得：
$\begin{cases}55k + b = 450,\\60k + b = 400.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -10,\\b = 1000.\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为：$y = -10x + 1000$。
(2) 由题意，销售利润$S = (x - 40)(-10x + 1000)$，
即$S = -10x^2 + 1400x - 40000$，
配方得$S = -10(x - 70)^2 + 9000$，
因为$a=-10＜0$，
所以，当$50 \leqslant x \leqslant 70$时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大。
(3) 由题意，购进数量不超过$\frac{10000}{40} = 250$件，
即$-10x + 1000 \leqslant 250$，
解得$x \geqslant 75$，
又因为由（2）可知，当$x \geqslant 70$时，$S$随$x$的增大而减小，
所以当$x = 75$时，$S$取最大值，
此时$S = -10(75 - 70)^2 + 9000 = 8750$，
所以该商家最大捐款数额是$8750$元。