《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

一、弧长的计算
【例 1】如图 24.4.1 - 1,⊙O 的半径是 6,则⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 的一边 AB 所对的$\overset{\frown}{AB}$的长为$2\pi$.

答案： $2\pi$

【针对训练】
1. 如图 24.4.1 - 2,在公园中,相距 40 m 的两个观景台 A,B 之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在 AB 连线的中点 O 上,半径为 10 m. 现要修建一条连接 A,B 的观景长廊,计划沿 AC,$\overset{\frown}{CD}$,DB 的路线修建,其中 AC,DB 分别与⊙O 相切于点 C,D.
(1) 求 AC 的长(结果取精确值)；
(2) 求这个观景长廊的全长($\sqrt{3}$取 1.732,π 取 3.14,结果精确到 0.1 m).

答案：
(1) 连接 $OC$，因为 $AC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$，所以 $OC\perp AC$。
已知 $AB = 40m$，$O$ 为 $AB$ 中点，则 $OA = 20m$，$OC = 10m$。
在 $Rt\triangle AOC$ 中，根据勾股定理 $AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}} = 10\sqrt{3}(m)$。
(2) 因为 $OA = OC$，$OC\perp AC$，所以 $\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AOC = 60^{\circ}$。
同理 $\angle BOD = 60^{\circ}$，则 $\angle COD = 60^{\circ}$。
$\overset{\frown}{CD}$ 的长 $l=\frac{60\pi×10}{180}=\frac{10\pi}{3}(m)$。
观景长廊全长为 $2AC+\overset{\frown}{CD}$ 的长，即 $2×10\sqrt{3}+\frac{10\pi}{3}\approx2×1.732×10+\frac{10×3.14}{3}\approx34.64 + 10.47\approx45.1(m)$。
综上，答案为：
(1) $AC$ 的长为 $10\sqrt{3}m$；
(2) 观景长廊全长约为 $45.1m$。

【例 2】如图 24.4.1 - 3,CD 为⊙O 的直径,CD⊥AB,垂足为 F,AO⊥BC,垂足为 E,AO = 1.
(1) 求∠C 的大小；
(2) 求阴影部分的面积.
解：

答案：
(1) 连接OB，
∵CD为⊙O直径，AO=1，
∴OA=OC=OB=1。
∵AO⊥BC，垂足为E，
∴∠AEC=90°。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C（设∠C=α）。
在Rt△AEC中，∠EAC+∠C=90°，即α+α=90°，解得α=45°，
∴∠C=45°。
(2)
∵∠C=45°，∠C为圆周角，所对弧AB，
∴圆心角∠AOB=2∠C=90°。
扇形OAB面积：$S_{扇形OAB}=\frac{90\pi×1^2}{360}=\frac{\pi}{4}$。
△OAB面积：$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}× OA× OB×\sin90°=\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{2}$。
阴影部分面积=扇形OAB面积 - △OAB面积=$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$。
(1) 45°；
(2) $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$

【针对训练】
2. 如图 24.4.1 - 4,AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,D 为⊙O 上的一点,CD = CB,延长 CD 交 BA 的延长线于点 E.
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) OF⊥BD 于点 F,若 OF = 1,∠ABD = 30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留 π)

答案： 阴影部分面积为4π/3 - √3。