《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【例1】一个抛物线形拱桥的示意图如图22.3.2-1所示,桥的跨度$AB为100\ m$,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱的水平距离为$10\ m$(不考虑立柱的粗细),其中距$A点10\ m处的立柱FE的高度为3.6\ m$。

(1)求正中间的立柱$OC$的高度。
(2)是否存在一根立柱,其高度恰好是$OC$的一半？请说明理由。
解：

答案：
(1)以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立直角坐标系。设抛物线方程为$y=ax^2+c$。
∵AB=100m，
∴A(-50,0)，B(50,0)。
将A(-50,0)代入得：$2500a+c=0$…①
距A点10m处立柱FE高度3.6m，即点(-40,3.6)在抛物线上，代入得：$1600a+c=3.6$…②
①-②得：$900a=-3.6$，解得$a=-0.004$。
代入①：$2500×(-0.004)+c=0$，解得$c=10$。
∴OC高度为10m。
(2)OC高度一半为5m，令$y=5$，则$5=-0.004x^2+10$，解得$x^2=1250$，$x=±25\sqrt{2}≈±35.35$。
立柱x坐标为±10,±20,±30,±40,0（间隔10m），$±25\sqrt{2}$不是10的整数倍，故不存在。
(1)10m；
(2)不存在。

【针对训练】
1.有一个抛物线形的拱形桥洞(示意图),桥洞离水面的最大高度为$4\ m$,跨度为$10\ m$。建立如图22.3.2-2所示的直角坐标系。

(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)如图22.3.2-2,在抛物线的对称轴右边$1\ m$处,桥洞离水面的高是多少？

答案：
(1) 设抛物线解析式为 $y = ax^{2} + bx + c$（$a \neq 0$）。
由题意，抛物线的顶点坐标为 $(5, 4)$，因此可设抛物线解析式为 $y = a(x - 5)^{2} + 4$。
又因为抛物线过点 $(0, 0)$，代入得：
$0 = a(0 - 5)^{2} + 4$，
$0 = 25a + 4$，
解得 $a = -\frac{4}{25}$。
因此，抛物线解析式为：
$y = -\frac{4}{25}(x - 5)^{2} + 4$，
进一步展开得：
$y = -\frac{4}{25}x^{2} + \frac{8}{5}x$。
(2) 当 $x = 6$ 时（对称轴 $x = 5$ 右边 $1m$ 处），代入解析式 $y = -\frac{4}{25}(x - 5)^{2} + 4$ 得：
$y = -\frac{4}{25}(6 - 5)^{2} + 4$，
$y = -\frac{4}{25} + 4$，
$y = \frac{96}{25}$，
即桥洞离水面的高是 $\frac{96}{25} = 3.84(m)$。

【例2】如图22.3.2-3(示意图),排球运动员站在点$O$处练习发球,将球从$O点正上方2\ m的A$处发出,把球看成点,其运行的高度$y$(单位：$m$)与运行的水平距离$x$(单位：$m$)满足关系式$y = a(x - 6)^{2} + h$。已知球网与$O点的水平距离为9\ m$,高度为$2.43\ m$,球场的边界距$O点的水平距离为18\ m$。

(1)当$h = 2.6$时,求$y与x$的关系式(不要求写出自变量$x$的取值范围)。
(2)当$h = 2.6$时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由。
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求$h$的取值范围。
解：

答案：
(1)$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2+2.6$；
(2)能越过球网，会出界；
(3)$h\geq\frac{8}{3}$。