《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版重庆专版》

【针对训练】
1. 若圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的母线$l与底面半径r$的关系是(A)
A.$l = 2r$
B.$l = 3r$
C.$l = r$
D.$l= \frac{3}{2}r$

答案： A

【例2】如图24.4.2-2,已知扇形$OAB$的半径为6,圆心角为$120^{\circ}$,若将此扇形围成一个圆锥,求：
(1)围成的圆锥的侧面积；
(2)围成的圆锥的全面积.

解：

答案：
(1)扇形的弧长公式为：$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径。
已知扇形$OAB$的半径$r = 6$，圆心角$n = 120^{\circ}$，代入可得扇形弧长为：
$l=\frac{120\pi×6}{180}=4\pi$。
扇形的侧面积就是扇形的面积，扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。
把$l = 4\pi$，$r = 6$代入可得圆锥侧面积为：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×4\pi×6 = 12\pi$。
(2)设圆锥底面圆的半径为$R$。
因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$（$C$为周长，$R$为半径），已知扇形弧长$l = 4\pi$，则有$2\pi R = 4\pi$，解得$R = 2$。
根据圆的面积公式$S=\pi R^{2}$，可得圆锥底面圆的面积为：
$S_{底}=\pi×2^{2}=4\pi$。
圆锥的全面积等于侧面积加上底面积，由（1）知侧面积$S_{侧}=12\pi$，所以圆锥的全面积为：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12\pi + 4\pi=16\pi$。
故答案为：
(1)$12\pi$；
(2)$16\pi$。

【针对训练】
2. 如图24.4.2-3,圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍,求该圆锥侧面展开图所对应扇形的圆心角的度数.

答案： 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，侧面展开图（扇形）的圆心角为 $n{°}$。
圆锥的底面积为：
$\pi r^{2}$，
圆锥的侧面积为：
$\pi rl$，
根据题意，圆锥的侧面积等于其底面积的 2 倍，即：
$\pi rl = 2\pi r^{2}$，
化简得：
$l = 2r$，
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长为圆锥底面的周长，即：
$2\pi r$，
扇形的弧长公式为：
$\frac{n\pi l}{180}$，
将已知的弧长和母线长代入公式，得：
$\frac{n\pi × 2r}{180} = 2\pi r$，
化简得：
$n = 180$。
故该圆锥侧面展开图所对应扇形的圆心角为 $180{°}$。

1. 一个圆锥的侧面展开图如图24.4.2-4所示,它的弧长是$8\pi$,则圆锥的底面半径是(B)

A.8
B.4
C.2
D.1

答案： B

2. 小红要过生日了,为了筹备生日聚会,准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形生日礼帽,则这个圆锥形礼帽的侧面积为(A)
A.$270\pi\mathrm{cm}^2$
B.$540\pi\mathrm{cm}^2$
C.$135\pi\mathrm{cm}^2$
D.$216\pi\mathrm{cm}^2$

答案： A

3. 用一个圆心角为$120^{\circ}$,半径为2的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为(D)
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： D

4. 将一个圆心角是$90^{\circ}$的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的侧面积$S_{侧}和底面积S_{底}$的关系是(D)
A.$S_{侧} = S_{底}$
B.$S_{侧} = 2S_{底}$
C.$S_{侧} = 3S_{底}$
D.$S_{侧} = 4S_{底}$

答案： D

5. 蒙古包可近似地看成是由圆锥和圆柱组成的,其示意图如图24.4.2-5所示.若用毛毡搭建一个底面圆面积为$25\pi\mathrm{m}^2$,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是(A)

A.$(30 + 5\sqrt{29})\pi\mathrm{m}^2$
B.$40\pi\mathrm{m}^2$
C.$(30 + 5\sqrt{21})\pi\mathrm{m}^2$
D.$55\pi\mathrm{m}^2$

答案： A